Álgebra

por **Claudin** » Qua Abr 25, 2018 14:17

O número de dígitos do resultado da multiplicação $10^8 . 10^6 . 10^9 . 10^{12} ... 10^{30}$ é:

a)90
b)160
c)162
d)166

por **DanielFerreira** » Sex Set 13, 2019 22:25

Claudin escreveu:O número de dígitos do resultado da multiplicação $10^8 . 10^6 . 10^9 . 10^{12} ... 10^{30}$ é:

a)90
b)160
c)162
d)166

$\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^6 \cdot 10^9 \cdot 10^{12} \cdot \ \cdots \ \cdot 10^{30} =} \\\\ \mathsf{10^8 \cdot \left (10^6 \cdot 10^9 \cdot 10^{12} \cdot \ \cdots \ \cdot 10^{30} \right ) =} \\\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^{6 + 9 + 12 + \cdots + 30} =}$

Como podemos notar, os expoentes do segundo fator é uma soma de termos que formam uma P.A de razão 3 cujo primeiro termo é 6 e último termo 30. Para determinar o resultado dessa soma, far-se-á necessário encontrar a quantidade de termos $\mathsf{n}$ e substituir os dados na fórmula abaixo:

$\boxed{\mathsf{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2}}}$

Com efeito, teremos:

$\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^{6 + 9 + 12 + \cdots + 30} =} \\\\ \mathsf{10^8 \cdot 10^{162} =} \\\\ \mathsf{10^{170}}$

Portanto, a quantidade de dígitos do produtório será $\boxed{\boxed{\mathsf{171}}}$ !!

por **DanielFerreira** » Sex Set 13, 2019 22:29

A propósito, caso tenha havido algum erro de digitação no expoente do primeiro fator, e, presumo que o mesmo seja 3, a resposta será 166 (171 - 5); diferença entre os expoentes 3 e 8!

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