PG Crescente

por **Lana Brasil** » Seg Mai 27, 2019 21:21

Boa Noite.
Estou com dúvidas na questão abaixo. Poderiam me ajudar, por favor?
Obrigada

Considere a progressão geométrica crescente em que a2+a5=72 e a4+a7=288. Calcule a soma dos 10 primeiros termos dessa progressão.
Não tenho o Gabarito.

por **Baltuilhe** » Seg Mai 27, 2019 23:49

Boa noite!

Dado:
$\begin{cases}a_2+a_5=72\\a_4+a_7=288\end{cases}$

Desenvolvendo o termo geral $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ .
Primeira equação:
$a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72$

Segunda equação:
$a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6=288$

Agora, dividindo a segunda pela primeira:
$\dfrac{a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6}{a_1\cdot q+a_1\cdot q^4}=\dfrac{288}{72}\\\dfrac{a_1\cdot q^3\cdot\left(1+q^3\right)}{a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)}=4\\\dfrac{\cancel{a_1}\cdot q^3\cdot\cancel{\left(1+q^3\right)}}{\cancel{a_1}\cdot q\cancel{\cdot\left(1+q^3\right)}}=4\\\dfrac{q^3}{q}=4\\q^2=4\\q=\sqrt{4}\\q=\pm 2\\\boxed{q=2}$

Conhecida a razão, vamos voltar para a primeira equação:
$a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72\\ a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)=72\\ a_1\cdot 2\cdot\left(1+2^3\right)=72\\ a_1\cdot 2\cdot 9=72\\ a_1=\dfrac{72}{18}=4$

Agora que temos o primeiro termo e a razão:
$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{2^{10}-1}{2-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{1\,024-1}{1}=4\cdot 1\,023\\\boxed{S_{10}=4\,092}$

Espero ter ajudado!

por **Lana Brasil** » Qua Mai 29, 2019 09:45

Muito obrigada pela resposta.
Não consegui finalizar porque não pensei em dividir um pelo outro.

Baltuilhe escreveu:Boa noite!

Dado:
$\begin{cases}a_2+a_5=72\\a_4+a_7=288\end{cases}$

Desenvolvendo o termo geral $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$ .
Primeira equação:
$a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72$

Segunda equação:
$a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6=288$

Agora, dividindo a segunda pela primeira:
$\dfrac{a_1\cdot q^3+a_1\cdot q^6}{a_1\cdot q+a_1\cdot q^4}=\dfrac{288}{72}\\\dfrac{a_1\cdot q^3\cdot\left(1+q^3\right)}{a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)}=4\\\dfrac{\cancel{a_1}\cdot q^3\cdot\cancel{\left(1+q^3\right)}}{\cancel{a_1}\cdot q\cancel{\cdot\left(1+q^3\right)}}=4\\\dfrac{q^3}{q}=4\\q^2=4\\q=\sqrt{4}\\q=\pm 2\\\boxed{q=2}$

Conhecida a razão, vamos voltar para a primeira equação:
$a_1\cdot q+a_1\cdot q^4=72\\ a_1\cdot q\cdot\left(1+q^3\right)=72\\ a_1\cdot 2\cdot\left(1+2^3\right)=72\\ a_1\cdot 2\cdot 9=72\\ a_1=\dfrac{72}{18}=4$

Agora que temos o primeiro termo e a razão:
$S_n=a_1\cdot\dfrac{q^n-1}{q-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{2^{10}-1}{2-1}\\S_{10}=4\cdot\dfrac{1\,024-1}{1}=4\cdot 1\,023\\\boxed{S_{10}=4\,092}$

Espero ter ajudado!

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