Sistema de equação, com seno e cosseno, como fazer?

por **Therodrigou** » Seg Mar 25, 2019 04:00

Olá, gostaria de pedir ajuda para resolver esse sistema:

1,375*sin(x) + sin(30)*y - 1,5 = 0
- 1,375*cos(x) + cos(30)*y = 0

Resposta:
y = 1,2
x = 40,9

Esse sistema tem solução, foi retirado de uma questão de física, apenas troquei as variáveis para facilitar, conforme a imagem:
https://image.slidesharecdn.com/chapter ... 1510090397

por **Gebe** » Seg Mar 25, 2019 15:54

Vamos começar isolando sin(x) e cos(x) na 1ª e 2ª equação respectivamente:

$\\ sin(x)~=~\frac{1,5-sin(30^\circ)y}{1,375} \\ \\ \\ \boxed{sin(x)~=~\frac{1,5-0,5y}{1,375}} \\ \\ \\ \\ cos(x)~=~\frac{-cos(30^\circ)y}{-1,375} \\ \\ \\ \boxed{cos(x)~=~\frac{\sqrt{3}\,y}{2~.~1,375}}$

Agora aplicando a identidade sin²x + cos²x = 1:

$\\ sin^2x+cos^2x~=~1 \\ \\\\ \left(\frac{1,5-0,5y}{1,375}\right)^2~+~\left(\frac{\sqrt{3}\,y}{2~.~1,375}\right)^2~=~1 \\ \\ \\ \\ \frac{4~.~(0,25y^2-1,5y+2,25)~+~1~.~(3y^2)}{2^2~.~1,375^2}~=~1 \\ \\ \\ y^2-6y+9+3y^2~=~1~.~(2^2+1,375^2) \\ \\ \\ 4y^2-6y+9-7,5625~=~0 \\ \\ \\ 4y^2-6y+1,4375~=~0 \\ \\\\ Aplicando~Bhaskara: \\\\ \\ \Delta~=~(-6)^2-4.4.1,4375~=~13 \\ \\$

$\\ y'~=~\frac{6+\sqrt{13}}{2~.~4}~=~\frac{6+\sqrt{13}}{8}~\approx~1,20$

$\\ y'\,'~=~\frac{6-\sqrt{13}}{2~.~4}~=~\frac{6-\sqrt{13}}{8}~\approx~0,30$

Substituindo os valores de "y" nas equações acharemos:

$\\ Para~y~=~1,2:~~~sin(x)~=~\frac{36}{55}~~\rightarrow~~\boxed{x~=~40,9^\circ} \\ \\\\ Para~y~=~0,30:~~~sin(x)~=~\frac{54}{55}~~\rightarrow~~\boxed{x~=~79,1^\circ}$

Obs.: Não consegui identificar no problema se há alguma condição que recuse o par (x,y) = (79,1° , 0,30) como solução

por **Therodrigou** » Seg Mar 25, 2019 18:40

Obrigado! O y seria o valor de uma força, apenas o x seria o ângulo!

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