Polinômio de Taylor de ordem 2

por **Maisa_Rany** » Seg Nov 19, 2018 16:53

Boa tarde! Podem me ajudar com a questão abaixo, por favor?

Encontre o Polinômio de Taylor de ordem 2 da função f(x,y) = e^x.cos y no ponto(0,0).

(_) Q(x, y) = 1 + x + 1/2 x^2 + 1/2 y^2
(_) Q(x, y) = 1 + x - 1/2 x^2 + 1/2 y^2
(_) Q(x, y) = x + 1/2 x^2 - 1/2 y^2
(_) Nenhuma das outras alternativas.
(_) Q(x, y) = 1 + x + x^2 - y^2

por **Gebe** » Ter Nov 20, 2018 00:38

Para um polinomio de ordem 2, vamos precisar de algumas derivadas parciais, logo vamos calcula-las previamente assim como o seus valores no ponto (0,0):
$\\ \frac{\partial f}{\partial x}=e^xcos(y)=e^0cos(0)=1\\ \\ \frac{\partial f}{\partial y}=-e^xsen(y)=-e^0sen(0)=0\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=e^xcos(y)=e^0cos(0)=1\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=-e^xcos(y)=-e^0cos(0)=-1\\ \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}=-e^xcos(y)=-e^0cos(0)=-1$

O polinomio de ordem 2 é dado por:
$\\ Q(x,y)= f(x_o,y_o)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_o,y_o)(x-x_o)+\frac{\partial f}{\partial y}(x_o,y_o)(y-y_o)+$ $\frac{1}{2!}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(x_o,y_o)(x-x_o)^2+2 \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(x_o,y_o)(x-x_o)(y-y_o)+ \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(x_o,y_o)(y-y_o)^2 \right)$

$\\Q(x,y) = 1 + 1.(x-0) + 0.(y-0) + \frac{1}{2}.\left(1.(x-0)^2+2.(-1).(x-0)(y-0)+(-1).(y-0)^2)\right)$

$\\Q(x,y) = 1 + x + \frac{1}{2}.\left(x^2-2xy-y^2\right)\\\\Q(x,y) = 1 + x + \frac{x^2}{2}-xy-\frac{y^2}{2}$

Alternativa D (nenhuma deas alternativas)
Obs.: Confira os calculo, como fiz diretamente no LaTEX posso ter deixado passar algo.
Qualquer duvida deixe msg

por **Maisa_Rany** » Ter Nov 20, 2018 16:26

Muito obrigada! Irei acompanhar os cálculos.
Tem outra questão: De forma geral, o PIB, P, é função destas duas variáveis: L e K: P = P(L,K). No ano de 1920, os dados da economia americana mostravam que ?P/?L= 0,9 e ?P/?K=0,15. Naquele ano, um incremento de 30% nos investimentos de trabalho e 10% em capital trariam um crescimento do PIB de:
(_) 20%
(_) 30%
(_) Nenhuma das outras alternativas.
(_) 28,5%
(_) 25%

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