derivação impliitaa

por **luccahm** » Seg Jun 11, 2018 18:01

seja y f x uma função dada pela implicitamente pela questao x²+xy+y² = 3. admitindo f derivavel, determine as possiveis retas tangentes ao gráfico de f que são normais à reta x-y+1=0.
Eu tentei mais n consegui começar alguem pode me ajudar a fazer

por **nakagumahissao** » Dom Jun 17, 2018 08:45

Faz um bom tempo que não tenho usado o Cálculo, mas creio que a solução para o problema seja o seguinte:

Em primeiro lugar, se f é derivável e as retas tangentes de f (dy/dx) são normais à reta x - y + 1 = 0, ou seja, são perpendiculares à esta reta, então, a declividade dessa reta será igual à equação das retas tangentes de f. Em outras palavras, diferenciando-se implictamente a equação desta reta, teremos:

[1]
$x - y + 1 = 0 \Rightarrow 1 - \frac{dy}{dx} + 0 = 0 \Rightarrow \frac{dy}{dx} = 1$

Diferenciando-se agora f, teremos:

${x}^{2}+xy+ {y}^{2} = 3 \Rightarrow 2x + y + x\frac{dy}{dx} + 2y\frac{dy}{dx} = 0$

Trabalhando um pouco o resultado acima, teremos:

$\frac{dy}{dx}\left(x + 2y \right) = -y - 2x \Rightarrow \frac{dy}{dx} = -\frac{\left(y + 2x \right)}{2y + x}$

Logo, igualando-se ao que obtivemos em [1], teremos:

$\frac{dy}{dx} = -\frac{\left(y + 2x \right)}{2y + x} = 1 \Rightarrow -(y + 2x) = 2y + x \Rightarrow -3y = 3x$

$\Rightarrow y = -x$

Que é a equação que procurávamos.

$\blacksquare$

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