[Integral de Substituição]

por **caioquinterno** » Seg Nov 06, 2017 18:32

O exercício é o seguinte:
Calcule a integral abaixo;
$f(x)= \int x \sqrt x-1 dx$
Eu estou com dificuldades nela, tentei resolver porém difere do gabarito da minha lista.
Minha resolução

: minha resolução

Porém estou com dificuldades enquanto a substituição do " du " e se fica mesmo $\frac{du}{x} = x dx$ , não tenho certeza se minha substituição está correta ou se foi no meu desenvolvimento, gostaria que se alguém pudesse me ajudar.

Obrigado, desde já!

por **nakagumahissao** » Sex Fev 23, 2018 21:51

$\int_{}^{} x\sqrt[2]{x -1}dx$

Fazendo a substituição como você...

$u = x - 1 \Rightarrow du = dx$

teremos:

$\int_{}^{} x\sqrt[2]{x -1}dx = \int_{}^{} (u + 1) \sqrt[2]{u}du$

Segue-se da seguinte maneira:

$\int (u + 1) \sqrt{u}du = \int (u + 1) \left({u}^{\frac{1}{2}} \right) du = \int {u}^{\frac{3}{2}} + {u}^{\frac{1}{2}} du =$

$\int {u}^{\frac{3}{2}}du + \int {u}^{\frac{1}{2}} du = \frac{{u}^{\frac{5}{2}}}{\frac{5}{2}} + {c}_{1} + \frac{{u}^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + {c}_{2}$

$= \frac{2}{5}{u}^{\frac{5}{2}} + \frac{2}{3}{u}^{\frac{3}{2}} + {c}_{1} + {c}_{2} = 2{u}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{5}u + \frac{1}{3} \right) + c$

com

$c = {c}_{1} + {c}_{2}$

Finalmente:

$2{u}^{\frac{3}{2}}\left(\frac{1}{5}u + \frac{1}{3} \right) + c = 2\sqrt{{u}^{3}}\left(\frac{1}{5}u + \frac{1}{3} \right) + c =$

$= 2\sqrt{{(x-1)}^{3}}\left[\frac{1}{5}(x-1) + \frac{1}{3} \right] + c$

$\blacksquare$

por **jlgraceli** » Sáb Fev 24, 2018 09:31

colegas,

Para resolver esta integral, seguir os passos abaixo.

1) multiplicar x por raiz de x, que é igual x elevado a 3/2;
2) separar em duas integrais;
3)achar a integral de x elevado a 3/2 e a integral de dx.
fim.

por **jlgraceli** » Sáb Fev 24, 2018 09:33

Contudo, se o -1 está dentro da raiz, deve ser feita a substituição.

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