[Continuidade] Todos os polinômios são contínuos em p?

por **DarioCViveiros** » Qua Fev 21, 2018 17:28

Após uma leitura do livro "Um curso de cálculo - volume 1" de Guidorizzi, decidi verificar se todos os polinômios são contínuos para todo $x\in Df$ através do uso de $\epsilon-\delta$ . Gostaria de saber se a minha demonstração está certa e, se não estiver, quais os problemas.

Demonstração:
$f(x)={a}_{0}{X}^{n}+{a}_{1}{X}^{n-1}+ ... + {a}_{n-1}X+{a}_{n}$ (1)

Onde:
$\left({a}_{0},{a}_{1}, ... , {a}_{n-1}, {a}_{n} \right) \in \Re$ , e
$n \in \aleph$

logo,
$f(x)={f}_{1}(x)+{f}_{2}(x)+ ... +{f}_{n}$

sendo assim,
$(p, f(p)) \in f \Leftrightarrow (p, f(p)) \in {f}_{1}, {f}_{2},..., {f}_{n} \Leftrightarrow \exists (\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f} \rightarrow \exists(I=]a,b[; p \in I)|x\in I\Rightarrow f(p)-\epsilon < f(x) < f(p) + \epsilon$

com: $\delta = min[b-p,p+a] \Rightarrow p - \delta < x < p + \delta$
e: $g(x)=a{x}^{b}, a \in \Re, b \in \aleph$

sendo g(x)

uma generalização das funções ${f}_{n}(x)$ que formam a forma geral de um polinômio (1).

Logo:
$x\in ]a,b[ \Rightarrow x \in ]b-p,p+a[ \Rightarrow p-\delta < x < p + \delta$

e, para encontrar o intervalo aberto I que torna contínua a função g(x)

, toma-se

$f(p)-\epsilon < f(x) < f(p) + \epsilon$ com $f(p)=a{x}^{b}$ , que resulta:

$a{p}^{b}-\epsilon<a{x}^{b}<a{p}^{b}+\epsilon\Rightarrow \sqrt{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}}<x<\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}}$ ,

logo:
$I=]\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}-\epsilon}{a}},\sqrt[b]{\frac{a{p}^{b}+\epsilon}{a}}[$

o que implica que:

$\exists(\epsilon>0\rightarrow\delta>0)|\forall x\in {D}_{f}\rightarrow\exists(I=]a,b[,p\in I)|x\in I\Rightarrow f(p)-\epsilon<f(x)<f(p)+\epsilon$

com: $f(x)={a}_{0}{X}^{n}+{a}_{1}{X}^{n-1}+ ... + {a}_{n-1}X+{a}_{n}$ ,

comprovando que todo polinômio é contínuo $\forall p \in {D}_{f}$ .

Baseie-me aqui nos métodos mostrados no próprio livro, o qual envolve um intervalo aberto no domínio da função, ainda que não tenha encontrado referências a este em outras fontes, como em "Calculus" de Spivak.
Espero receber críticas à minha demonstração em breve, de forma que possa aprimorar o meu conhecimento sobre continuidade. Agradeço desde já. :y:

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