ANÁLISE REAL: FUNÇÃO LIMITADA

por **renataribeiro2017** » Sex Set 08, 2017 12:28

Por favor, estou com dificuldades nesta questão. Alguém pode me ajudar?

Seja f não decrescente em [1,+inf) e F(x)= Integral de 1 a x de f(t)/t dt com x > ou igual a 1 . Prove que f é limitada, isto é, módulo de f(x) < ou igual a k, qualquer que seja t pertencente a [1,+inf), então F(x)/logx também é limitada em [1,+inf) . Dica: Estime o módulo de F(x) e use o fato que o módulo da integral de g(x)dx é menor ou igual à integral do módulo de g(x)dx.

por **adauto martins** » Ter Mai 01, 2018 19:14

$\exists \delta\succ 0$ tal que:
$\delta=min(inf(f(x))-1)$ ,existe $M\succ 0$ ,pois
$F(X)=\int_{1}^{inf(f(x))}(dx/x)=log(inf)-log(1)=log(inf)\succ 0$ ...
se F(x)

,e limitada em [1,inf(f))

,cabe nos provar que:
F(x)/logx

é limitada em [1,inf)

.de fato:
pois $\exists \delta=min(inf(f)-1)\succ 0$ ,e $\exists N\succ 0$ ,pois
$F(x)/logx=\int_{1}^{inf(f)}(dx/x)=log(inf)/logx=log(inf)-logx \succ 0...$ ,pois