[Cálculo] Integral de linha

por **pedro22132938** » Sex Dez 30, 2016 01:28

O exercicio pede o calculo da integral de linha onde, $\int_{}^{}y^2dx +xdy - dz$ e $\gamma$ é a poligonal de vértices A0 = (0,0,0), A1=(1,1,1) e A2=(1,1,0), orientada de A0 para A2.

Parametrizei a curva gama, mas ao calcular a integral por partes, cheguei ao resultado 0, porém ao verificar a solução está 5/6. Alguém consegue chegar ao resultado e mostrar-me como?

por **adauto martins** » Dom Jan 01, 2017 14:32

vamos calcular a integral pelos caminhos ${C}_{1},{C}_{2}$ ,
${C}_{1}:{A}_{0}\rightarrow {A}_{1}$ ,temos que:
$0 \preceq x \preceq 1...0\preceq y \preceq 1...0\preceq z\preceq 1... dx=dy \Rightarrow \int_{{A}_{0}}^{{A}_{1}}(({x}^{2}+x))dx-dz)$ $\int_{0}^{1}({x}^{2}+x)dx-\int_{0}^{1}dz=(({x}^ {3}/3)+({x}^{2}/2)[0,1]-z[0,1]=(1/3)+(1/2)-1=-1/6...$

${C}_{2}:{A}_{1}\rightarrow {A}_{2}$ ,temos:

$x=y=1\Rightarrow dx=dy=0......0\preceq z \preceq 1$ sentido negativo,logo:

$\int_{{A}_{1}}^{{A}_{2}}(-dz)=[tex]\int_{0}^{1}-dz=\int_{1}^{0}dz=z[1,0]=1...$ ...logo o valor da integral sera a soma dos caminhos ${C}_{1}+{C}_{2}$ ,ou seja: I=(-1/6)+1=5/6...

se tomarmos o caminho ${C}_{3}$ ,ou seja ${C}_{3}:{A}_{2}\rightarrow {A}_{0}$ ,teriamos o valor da integral igual a zero,ou seja:
${C}_{1}+{C}_{2}+{C}_{3}\Rightarrow I=0...$ ,fechariamos a linha poligonal...
de fato:

${C}_{3}:{{{A}_{2}}\rightarrow {{A}_{0}}$

z=0,dz=0...-dx=-dy

,tanto x,y variara negativamente:

$\int_{{A}_{2}}^{{A}_{0}}-({x}^{2}+x)dx=-(({x}^{3}/3)+({x}^{2}/2)[(1,1,0),(0,0,0)]=-((1/3)+(1/2)=-5/6...$
I=(-1/6)+1-(5/6)=0...

por **pedro22132938** » Seg Jan 02, 2017 00:29

Então, minha resposta está correta? De fato é 0 o resultado, pois tenho que fechar a poligonal não?

por **adauto martins** » Seg Jan 02, 2017 15:14

meu caro pedro,
sua resposta esta incorreta,pois vc usando o metodo de parametrizaçao deva ter fechado a poligonal...
a integral de linha mede a area abaixo da curva(caminho,linha,interseçao de superficies e etc...) em relaçao a um dos planos X0Y,X0Z,Y0Z...é como na integral de uma variavel, $I=\int_{a}^{b}f(x)dx=A(x)...$ ...metodo da poligonal fechado tem seu uso no calculo de integraçao de variaveis compelexas,calculo do numero de residuos em um compacto qquer...entao é isso...

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