Logarítmos - Como resolver esta expressão

por **petras** » Qui Out 20, 2016 10:35

Alguém poderia ajudar. Desde já fico grato!
Se :
${2}^{-1}.{2}^{-3}.{2}^{-5}.{2}^{-7}...{2}^{1-2n}=({\frac{1}{16}})^{x}$
com n $\in$ N - {0} então n é igual a: R: $2 \sqrt[]{x}$ )

por **DanielFerreira** » Sáb Out 22, 2016 17:16

petras escreveu:Alguém poderia ajudar. Desde já fico grato!
Se :
${2}^{-1}.{2}^{-3}.{2}^{-5}.{2}^{-7}...{2}^{1-2n}=({\frac{1}{16}})^{x}$
com n $\in$ N - {0} então n é igual a: R: $2 \sqrt[]{x}$ )

De início, aplicamos uma das propriedades de potência, veja:

$\\ \mathsf{2^{- 1} \cdot 2^{- 3} \cdot 2^{- 5} \cdot ... \cdot 2^{1 - 2n} = \left ( \frac{1}{16} \right )^x} \\\\ \mathsf{2^{- 1 - 3 - 5 - ... - (1 - 2n)} = (2^{- 4})^x} \\\\ \mathsf{2^{- [1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)]} = 2^{- 4x}}$

Igualando os expoentes,

$\\ \mathsf{- [1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)] = - 4x} \\\\ \mathsf{\underbrace{\mathsf{1 + 3 + 5 + ... + (- 1 + 2n)}}_{P.A \ crescente \ cuja \ raz\~ao \ vale \ 2} = 4x}$

Assim, podemos encontrar o valor da soma aplicando o conceito de progressão aritmética, veja:

$\\ \begin{cases} \mathsf{a_1 = 1} \\ \mathsf{r = 2} \\ \mathsf{a_n = 2n - 1} \\ \mathsf{n = n} \\ \mathsf{S_n = ?}\end{cases} \\\\\\ \mathsf{S_n = \frac{(a_1 + a_n)n}{2} \Rightarrow S_n = \frac{(1 + 2n - 1)n}{2} \Rightarrow S_n = \frac{2n \cdot n}{2} \Rightarrow \boxed{\mathsf{S_n = n^2}}}$

Por fim, temos que:

$\\ \mathsf{1 + 3 + 5 + ... + (2n - 1) = 4x} \\\\ \mathsf{n^2 = 4x} \\\\ \mathsf{n = \pm 2\sqrt{x}, \ mas \ n \in \mathbb{N}^{\ast}} \\\\ \boxed{\boxed{\mathsf{n = 2\sqrt{x}}}}$