Equação- Complexos

por **futuromilitar** » Sáb Mai 21, 2016 14:20

Considere a equação (x+i)^2=6-(x+i)^2

, onde x é um complexo, $i=\sqrt[2]{i}$ e Re x>0 . O menor número natural n tal que ${x}^{n}$ seja um imaginário puro é:

a)1

b)2

c)3

d)4

por **DanielFerreira** » Sáb Mai 21, 2016 16:30

futuromilitar escreveu:Considere a equação , onde x é um complexo, $i=\sqrt[2]{i}$ e Re x>0 . O menor número natural n tal que ${x}^{n}$ seja um imaginário puro é:

a)1

b)2

c)3

d)4

Já faz algum tempo que não vejo o assunto (números complexos). Mas, vou tentar! Rs

Resolvendo a equação, temos:

$\\ (x + i)^2 = 6 - (x + i)^2 \\\\ 2 \cdot (x + i)^2 = 6 \\\\ (x + i)^2 = 3 \\\\ (x + i) = \sqrt[2]{3} \\\\ x + i = + \sqrt{3}, \ \ \text{pois} \ \ x > 0 \\\\ \boxed{x = \sqrt{3} - i}$

Note que:

- quando n = 1:

$\\ x^1 = (\sqrt{3} - i)^1 \\ x^1 = \sqrt{3} - i$

Não é imaginário puro.

- quando n = 2:

$\\ x^2 = (\sqrt{3} - i)^2 \\ x^2 = 3 - 2i\sqrt{3} + i^2 \\ x^2 = 2 - 2i\sqrt{3}$

Não é imaginário puro.

- quando n = 3:

Só concluir!

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