[INTEGRAL] Integração e anti-derivada

por **bencz** » Sex Mar 18, 2016 10:42

Estou estudando integração, e me deparei com o seguinte exercício:

$\int_{1}^{2} x*{({x}^{2} + 1)}^{5}dx$

Após pegar a variável u e sua derivada, $u = ({x}^{2} + 1), du = 2xdx$ , eu coloco na integral, com os valores limites recalculados, mas eu não consigo entender o por que o

que esta fora do parenteses 'some' da integração, na proxima etapa onde eu iria colocar o

para ser integrado, eu já coloco mais o

.
$\frac{1}{2} \int_{2}^{5} {u}^{5}du$

Por que, sendo que, se eu tivesse que calcular a anti-derivada do

, eu deveria colocar na equação p/ ser calculada também ?

por **anselmojr97** » Dom Mar 20, 2016 17:09

Olá, Bencz.

Quando você faz du=2xdx

o próximo passo será achar o valor de

para substituir na integral, porque agora estará em função de

e não mais em função de

Então ficará:

du=2xdx

$\[ \frac{du}{2x} \] = dx$

Aí você substitui na Integral.

$\int_{1}^{2} x*{u}^{5}\frac{du}{2x}$

Como é tudo produto, você pode simplificar o

do numerador por o do denominador. Ficando assim:

$\int_{1}^{2} {u}^{5}\frac{du}{2}$

Você pode passar a constante $\frac{1}{2}$ para fora Integral:

$\frac{1}{2}\int_{1}^{2}{u}^{5}du$

Assim você pode desenvolver o restante da Integral.
(Caso tenha alguma duvida sobre o restante do desenvolvimento, é só falar.)
Espero ter ajudado.
Abraços.

"Felizes aqueles que se divertem com problemas que educam a alma e elevam o espírito". (Fenelon)

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