G.A - Ponto

por **juxcarvalho** » Dom Ago 18, 2013 10:09

1- Se M(2, 1), N(3, 3) e P(6, 2) são os pontos médios dos lados AB, BC e CA, respectivamente, de um triangulo ABC, determinar as coordenadas de A, B, e C.

2- O baricentro de um triângulo ABC é G(-4/3,4/3), o ponto médio do lado BC é N(-5/2,-1) e ponto médio do lado AB é M(0,1/2). Determine as coordenadas do vértice A, B e C.

Ooobg

por **nakagumahissao** » Qui Out 08, 2015 15:52

$\frac{{x}_{1} + {x}_{2}}{2} = 2 \Rightarrow {x}_{1} + {x}_{2} = 4\;\;\;\;\;[1]$

$\frac{{x}_{2} + {x}_{3}}{2} = 3 \Rightarrow {x}_{2} + {x}_{3} = 6\;\;\;\;\;[2]$

$\frac{{x}_{1} + {x}_{3}}{2} = 6 \Rightarrow {x}_{1} + {x}_{3} = 12\;\;\;\;\;[3]$

Destas equações obtemos:

De [1]:

${x}_{1} + {x}_{2} = 4 \Leftrightarrow {x}_{1} = 4 - {x}_{2} \;\;\;\;[4]$

usando [4] em [3]:

${x}_{1} + {x}_{3} = 12 \Leftrightarrow 4 - {x}_{2} + {x}_{3} = 12 \Leftrightarrow {x}_{3} = 8 + {x}_{2} \;\;\;\;[5]$

Usando agora [5] em [2]:

${x}_{2} + {x}_{3} = 6 \Rightarrow {x}_{2} + 8 + {x}_{2} = 6 \Rightarrow 2{x}_{2} = -2 \Rightarrow {x}_{2} = -1 \;\; [6]$

Usando o resultado [6] em [5]:

${x}_{3} = 7 \;\;\;\;\;[7]$

Usando [7] em [4] obtem-se:

${x}_{1} = 5 \;\;\;\;\;[8]$

Resumindo:

${x}_{1} = 5,\;\;\;\;{x}_{2} = -1, \;\;\;\;{x}_{3} = 7$

Por um outro lado,

$\frac{{y}_{1} + {y}_{2}}{2} = 1 \Rightarrow {y}_{1} + {y}_{2} = 2 \Rightarrow {y}_{1} = 2 - {y}_{2} \;\;\;\;\;[9]$

$\frac{{y}_{2} + {y}_{3}}{2} = 3 \Rightarrow {y}_{2} + {y}_{3} = 6\;\;\;\;\;[10]$

$\frac{{y}_{1} + {y}_{3}}{2} = 2 \Rightarrow {y}_{1} + {y}_{3} = 4\;\;\;\;\;[11]$

Usando [9] em [11]:

${y}_{1} + {y}_{3} = 4 \Rightarrow 2 - {y}_{2} + {y}_{3} = 4 \Rightarrow {y}_{3} = 2 + {y}_{2}\;\;\;\;[12]$

Usando este resultado [12] em [10], obtém-se:

${y}_{2} + {y}_{3} = 6 \Rightarrow {y}_{2} + 2 + {y}_{2} = 6 \Rightarrow {y}_{2} = 2\;\;\;\;[13]$

Usando [13] em [12], obtém-se:

${y}_{3}= 4\;\;\;\;[14]$

finalmente, utilizando [14] em [9], obtém-se:

${y}_{1}= 0\;\;\;\;[15]$

temos até agora:

${x}_{1} = 5,\;\;\;\;{x}_{2} = -1, \;\;\;\;{x}_{3} = 7$

${y}_{1} = 0,\;\;\;\;{y}_{2} = 2, \;\;\;\;{y}_{3} = 4$

e os seguintes pontos:

$A(5,0),\;\;B(-1, 2),\;\;C(7,4)$

G.A - Ponto

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