Divergente, gradiente e rotacional.

[Crisaluno]

Estou com uma dúvida nessas 3 questões:
1°) Sejam f um escalar e F um campo vetorial quaisquer. Se existem as derivadas parciais provar: div(f F) = f [ div(F)] + [ grad(f)] * F
2°)Se r(vetor)= xi + yj + zk é o chamado vetor posição, provar:
a) div(r) = 3
b) rot(r) = 0
c)Nabla II r II = r / |r|
3°) define-se nabla^2 como operador Laplaciano.
a) definir nabla^2 através de derivadas parciais;
b) se f e g são funções escalares dotadas de derivadas parciais segundas, provar :
nabla*(nabla f )= nabla^2 f

Segue o gabarito com as respostas :

1°)div (F) = f [div (F)] + [ grad (f) ] * F...é verdadeira.
2°) a) div (r) =3 ; b) rot (r) = 0 ; c) Nabla |r|= r / |r|...verdadeira
3°)verdadeira..

obs: Estou tendo muita dificuldade de com esses exercícios. seria possível mostrar o passo a passo até o resultado?

[adauto martins]

..MEU EDITOR NAO ESTA FUNCIONANDO AQUI,MAS VAMOS LA NO JEITO Q. DER...
a)
div(f.F)=(D/x)(f.F)+(D/y)(f.F)+(D/z)(f.F),onde (D/x),(D/y),(D/z) sao as derivadas parciais em relaçao aos eixos x,y,z...
div(f.F)=(Df(x).F+DF(x).f)+(Df(y).F+DF(y).f)+(D(z)f+D(F(z))=f.(DF(x)+DF(y)+DF(z))+(Df(x)+Df(y)+Df(z))=f.div(F)+grad(f).F,aqui usei a regra da derivada do produto...
b)
r=(x,y,z)...div(r)=(D/x)r+(D/y)r+(D/z)=1+1+1=3
c)
rot(r)=produto vetrorial de r...olha sem o editor,te fala nuum da...espero q. entensa ai o q. fiz...

[Crisaluno]

Muito obrigado!!!Muito obrigado mesmo...conseg ui acompanhar sua resolução.