numeros complexos

por **juflamanto** » Ter Ago 18, 2015 16:23

Eu fiz essa questão e encontrei $\frac{3a-6}{{a}^{2}+9}\frac{-{a}^{2}+2ai}{{a}^{2}+9}$
ou seja a seria igual a zero, mas nao tenho certeza se fiz certo

por **nakagumahissao** » Qua Ago 19, 2015 10:12

Vamos resolver, mas antes vamos relembrar alguns resultados:

$i^{4n} = 1, \; \textbf{i}^{\textbf{4n + 1}} \textbf{= i}, \; i^{4n + 2} = -1, \; e \; i^{4n + 3} = -i$

Tendo estes resultados em mente, vamos agora ao problema:

$\frac{2i^{85} - ai^{17}}{a - 3i}$

$\frac{85}{4} = 21 \; com \;resto\; 1 \Rightarrow 4n + 1, \; n = 21$

$\frac{17}{4} = 4 \; com \;resto\; 1 \Rightarrow 4n + 1, \; n = 4$

Agora, fazendo as substituições necessárias, tem-se:

$\frac{2i - ai}{a - 3i} = \frac{2i - ai}{a - 3i}\left(\frac{a + 3i}{a + 3i} \right) = \frac{2ai + 6i^2 - a^{2}i -3ai^{2}}{a^2 - 9i^{2}} =$

$= \frac{2ai + 3i^2 - a^{2}i}{a^2 +9} = \frac{- 3 + (2a - a^2)i}{a^2 +9} = -\frac{3}{a^2 +9} + \frac{2a - a^2}{a^2 +9}i \;\;\;\; [1]$

O problema pede para que se encontre o valor de para que a expressão seja uma valor real. Um valor real z = m + ni possui n = 0. Na expressão final [1] acima, temos que igualar o coeficiente da parte imaginária a zero, da seguinte maneira:

$\frac{2a - a^2}{a^2 +9} = 0$

Resolvendo:

$\frac{2a - a^2}{a^2 +9} = 0 \Rightarrow 2a - a^2 = 0 \Leftrightarrow a(-a + 2) = 0 \Leftrightarrow a = 0 \; ou \; a = 2$

Portanto, a = 0 ou a = 2 para que a expressão inicial fique somente com valores reais.

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