[Trigonometria] Teorema dos cossenos

[raphaelo]

É a questão 589 do livro de EM do Gelson Iezzi, 10ª edição.

Prove que em todo triângulo ABC vale a igualdade:
a²+b²+c² = 2ab cosC + 2ac cosB + 2bc cosA

Desenvolvi desta maneira até empacar:

a²+(b²+c²-2bc cosA) = 2a (b cosC + c cosB)
2a² = 2a (b cosC + c cosB)
a = b cosC + c cos B (I)

Foi aí que empaquei. Acho que me falta alguma relação fundamental de de cossenos. Forçando a barra, tentei desenvolver desmembrando os cossenos mas caí numa igualdade falsa:
Considerando que: cos C = c/a ; cos B = b/a substituindo em (I) teríamos:
a = bc/a+ cb/a
a²= 2bc -> o que não é necessáriamente verdade!
Gostaria então que me ajudassem no desenvolvimento que eu fiz até onde empaquei e caminhos alternativos para conseguir a tal prova. Gostaria de saber também o motivo de na minha "forçação de barra" eu ter chegado a um absurdo.

Bom estudo a todos!

P.S.: Esta é a minha primeira dúvida que posto neste fórum, se tiver algo que eu tiverem dicas para melhorar a exposição do problema, por favor, não exitem em dizer!

[nakagumahissao]

Como precisei adicionar uma figura e é difícil colocar neste fórum, deixei resolvido em separado.

Veja a demonstração em:

http://matematicaparatodos.pe.hu/2015/0 ... -cossenos/

[raphaelo]

Muito obrigado, nakagumahissao!!!

A solução foi bem simples e clara! Bastou fazer a soma simultânea de cada um dos lados (abc) pela Lei dos cossenos e por algebrismo simples chegou-se a prova! Bem bolado! O caminho que percorri foi embolado!rs