triângulo equilátero

por **zenildo** » Qua Jul 15, 2015 11:13

1) O lado, o perímetro e a área de um triângulo equilátero, nesta ordem, são termos de uma Progressão Geométrica. Assim, a medida da altura desse triângulo equilátero é em unidades de comprimento:

a) 12 raiz quadrada de 3
b) 6 raiz quadrada de 3
c) 3
d) 18

por **nakagumahissao** » Qua Jul 15, 2015 12:09

Zenildo,

O que já tentou fazer? O que não está entendendo? Qual é sua dúvida? -

viewtopic.php?f=0&t=7543

A resposta é a letra (a), porém, creio que o pessoal aqui não irão te responder facilmente porque o objetivo aqui é que as dúvidas sejam sanadas e a pessoa que postou tenha aprendido um pouco mais que antes para que não seja apenas mais um site para se obter problemas resolvidos e os instrutores não passem somente por pessoas que resolvam exercícios e trabalhos dos outros, se é que me entende. Portanto, se puder, por favor exponha suas dúvidas e nos diga aonde ou o que não está entendo para que as pessoas deste fórum possam te ajudar a aprender ou entender mais sobre a matemática.

Deixei o link das regras de postagem deste fórum no link acima caso não tenha visto ainda.

Grato

Sandro

por **zenildo** » Qua Jul 15, 2015 19:19

como é que eu faço essa questão porque ela pede progressão geométrica. Faça o seguinte: demonstre ela algebricamente.

por **zenildo** » Qua Jul 15, 2015 19:38

Primeiramente: sei que a altura é h= (l?3)/2; a área: A=(l²?3)/4 e o lado é l.

por **nakagumahissao** » Qui Jul 16, 2015 03:34

A progressão geométrica consiste em encontrarmos o lado 'x' fo triângulo equilátero, seu perímetro 3x e a área do mesmo.

Vamos calcular a altura deste triângulo de três lados iguais, de base b = x e hipotenusa x. Usando Pitágoras, tem-se que:

$h^2 + \left(\frac{x}{2} \right)^{2} = x^2$

$h^2 = x^2 - \frac{x^2}{4} = \frac{4x^2 - x^2}{4} = \frac{3}{4}x^2$

$h = \sqrt[]{\frac{3}{4}x^2} \Leftrightarrow h = \frac{x \cdot \sqrt[]{3}}{2}$

A área deste triângulo será;

$A = \frac{bh}{2} = \frac{x}{2}\frac{x \cdot \sqrt[]{3}}{2} = \frac{x^2 \cdot \sqrt[]{3}}{4}$

Então, nossa sequência será:

$\left(x, 3x, \frac{x^2 \cdot \sqrt[]{3}}{4} \right )$

A razão desta PG é obtida dividindo-se o valor subsequente pelo seu antecessor, assim:

$q =\frac{3x}{x} = 3$

$q = \frac {\frac{x^2 \cdot \sqrt[]{3}}{4}}{3x} = \frac{x^2 \cdot \sqrt[]{3}}{3x \times 4} =\frac{x \cdot \sqrt[]{3}}{12}$ 7

Dos dois resultados acima, sabemos que as duas razões obtidas deverão ser iguais. Assim,

$\frac{x \cdot \sqrt[]{3}}{12} = 3 \Rightarrow x = \frac{3 \times 12}{\sqrt[]{3}} \Leftrightarrow x = \frac{36}{\sqrt[]{3}}$

Racionalizando, ou seja, multiplicando-se o numerador e o denominador por raiz de três, teremos:

$x = \frac{36\sqrt[]{3}}{\sqrt[]{3} \times \sqrt[]{3}} \Leftrightarrow x = \frac{36 \sqrt[]{3}}{3} \Leftrightarrow x = 12\sqrt[]{3}$

Por fim, nossa PG terá a seguinte sequência:

$\left(12\sqrt[]{3}, \, 36\sqrt[]{3}, \, 108\sqrt[]{3}\right)$

E portanto, a resposta é a letra (a)!

$\blacksquare$

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