[derivada parcia]

por **andersonsg** » Seg Jun 15, 2015 15:17

Bom dia.

Estou levando uma surra deste exercício, se alguém puder me ajudar eu agradeço.

Calcular a derivada parcial em relação a y da f(x,y) = \frac{1}{r}(\frac{-y}{2} + \frac{x}{2} \sqrt[2]{\frac{4{r}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}-1}).

Obrigado.

por **nakagumahissao** » Sáb Jul 18, 2015 11:33

$f(x,y) = \frac{1}{r}(\frac{-y}{2} + \frac{x}{2} \sqrt[2]{\frac{4{r}^{2}}{{x}^{2}+{y}^{2}}-1})$

Supondo-se que r seja uma constante (não se encontra esta informação no enunciado), mas percebe-se que deva ser uma constante por causa da definição da função dada.

Desta maneira, a derivada parcial com relação à y seria derivar a função dada, considerando o x como sendo um "constante". Assim, vamos reescrever a função para facilitar as contas:

$f(x,y) = -\frac{y}{2r} + \frac{x}{2r}\left(\frac{4r^2}{x^2 + y^2} - -1 \right)^{1/2}$

Derivando com relação à y, teremos:

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{2r} + \frac{x}{2r}\frac{1}{2}\left(\frac{-2y(4r^2)}{{(x^2 + y^2)}^{2}} \right)\left(\frac{4r^2}{x^2 + y^2} - 1 \right) ^{-1/2}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{2r} + \frac{x}{4r}\left[\frac{-8r^2 y}{{(x^2 + y^2)}^{2}} \right]\frac{1}{\left(\frac{4r^2}{x^2 + y^2} - 1 \right) ^{1/2}}$

$\frac{\partial f}{\partial y} = -\frac{1}{2r} - x\left[\frac{2r y}{{(x^2 + y^2)}^{2}} \right]\frac{1}{\sqrt[]{\frac{4r^2}{x^2 + y^2} - 1}}$

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