Função Composta

por **Karollmb** » Sex Mai 22, 2015 11:54

Seja k uma constante real, f e g funções definidas em R (real) tais que f(x)= kx+1 e g(x)=13x+ k. Os valores de k que tornam a igualdade fog=gof verdadeira são:
A) -3 ou 3
B) -4 ou 4
C) -4 ou 3
D) -3 ou 4
E) -4 ou 3

por **DanielFerreira** » Sáb Mai 23, 2015 14:23

Olá Karol, seja bem-vinda!

Encontremos a função composta $(f \circ g)(x)$ ,

$\\ (f \circ g)(x) = f(g(x)) \\\\ (f \circ g)(x) = k(13x + k) + 1 \\\\ (f \circ g)(x) = 13kx + k^2 + 1$

Encontremos, agora, a função composta $(g \circ f)(x)$ ,

$\\ (g \circ f)(x) = g(f(x)) \\\\ (g \circ f)(x) = 13(kx + 1) + k \\\\ (g \circ f)(x) = 13kx + k + 13$

Igualando-as,

$\\ (f \circ g)(x) = (g \circ f)(x) \\\\ 13kx + k^2 + 1 = 13kx + k + 13 \\\\ \cancel{13kx} - \cancel{13kx} + k^2 - k + 1 - 13 = 0 \\\\ k^2 - k - 12 = 0 \\\\ (...)$

Para encontrar os valores de

basta resolver a equação do 2º grau acima.

Espero ter ajudado!