L'Hôpital - Por que o limite não existe?

por **tiago_28** » Ter Mai 19, 2015 20:10

Aplicando a Regra de L'Hôpital no limite abaixo estou encontrando $\frac {-1}{3}$ , mas o gabarito informa que o limite não existe

$\lim_{x\rightarrow0} \frac {ln(1+x) - x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{6}} {x^3}$

Como mostrar que esse limite não existe? Lembrando que preciso calcular isso usando L'Hôpital.

por **lucas7** » Qua Mai 20, 2015 20:45

Aplicando L'Hopital, a primeira derivada dessa função é:
d/dx((log(1+x)-x-x^2/2-x^3/6)/x^3) = (x (x^2+5 x+6)-6 (x+1) log(x+1))/(2 x^4 (x+1))

derivando de novo:
d/dx((x (x^2+5 x+6)-6 (x+1) log(x+1))/(2 x^4 (x+1))) = (12 (x+1)^2 log(x+1)-x (x^3+8 x^2+20 x+12))/(x^5 (x+1)^2)

sucessivamente:
d/dx((12 (x+1)^2 log(x+1)-x (x^3+8 x^2+20 x+12))/(x^5 (x+1)^2)) = (x (3 x^4+33 x^3+128 x^2+156 x+60)-60 (x+1)^3 log(x+1))/(x^6 (x+1)^3)

Assim, verifica-se que mesmo aplicando L'Hopital inúmeras vezes esse limite tende a um quociente de zeros. (Pois sempre haverá x no numerador e denominador)

L'Hôpital - Por que o limite não existe?

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L'Hôpital - Por que o limite não existe?

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