Como pode ser?

por **Guga1981** » Qua Fev 11, 2015 19:32

Amigos, não entendi o enunciado deste exercício.
Como um número x somado a um número y pode ser igual ao número y vezes o número x (afirmativa II)? Isso só da certo para x e y = 2 ou x e y = 1 e não para quaisquer x e y, como o exercício afirma.

Segue o exercício:

(U.E.CE 1980) Seja F : $\Re$ $\rightarrow$ $\Re$ uma função satisfazendo as seguintes propriedades:

I - f(0) = 1
II - f(x + y) = f(x) . f(y) $\forall$ x, y $\in$ $\Re$
III - 0 < f(1) < 1

Então o valor da expressão f(0) + f(1) + f(2) + ... + f(9) é igual a:

a) $\frac{{f(1)}^{10} - f(1)} {f(1) - 1}$

b) ${f(1)}^{10} - 1$

c) ${f(1)}^{10} - f(1)$

d) $\frac{{f(1)}^{10} - 1} {f(1) - 1}$

por **Baltuilhe** » Qua Fev 11, 2015 20:07

Boa tarde!

$f(0)=1 f(1)=f(0+1)=f(0)\times f(1)=1\times f(1)=f(1) f(2)=f(1+1)=f(1)\times f(1)=f(1)^2 f(3)=f(1+2)=f(1)\times f(2)=f(1)\times f(1)^2=f(1)^3$

Então:
f(4)=f(1)^4

f(5)=f(1)^5

E assim sucessivamente.
Portanto, é uma P.G. com termo inicial 1 e razão f(1)

Fórmula da soma de P.G.
$S_n=a_1\frac{q^n-1}{q-1}$
Onde q é a razão da P.G.

Substituindo o que se deve, então:
$S_{10}=1\frac{f(1)^{10}-1}{f(1)-1}$
$S_{10}=\frac{f(1)^{10}-1}{f(1)-1}$

Como 0<f(1)<1 não há perigo em dar zero no denominador.

Espero ter ajudado!

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