Limites por definição.

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Limites por definição.

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Limites por definição.

Mensagempor lucassouza » Qui Jan 29, 2015 18:50

Olá pessoal que me ajuda muito. Nesta questão não entendi o por que desta suposição que foi feita para resolver. Está grifado em amarelo. Por favor, gostaria de uma simples explicação para que possa entender. Grato desde já!
Anexos
limites.JPG
Por quê foi feita esta suposição??
lucassouza
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Re: Limites por definição.

Mensagempor adauto martins » Sáb Jan 31, 2015 18:31

dado um \epsilon\succ 0,eh procurar um \delta\succ 0 q. satisfaça a definiçao do limite...ou seja...
\left|{x}^{2}-1 \right|\prec \epsilon...entao:
\left|{x}^{2}-1 \right|=\left|(x+1).(x-1) \right|\preceq \left|x+1 \right|.\left|x-1 \right|\prec\left|x+1 \right|.\delta,\left|x+1 \right|\preceq \left|x \right|+1,podemos tomar \left|x \right|\prec 1\Rightarrow \delta\left|x+1 \right|\prec \delta.(1+1)=2\delta...tomamos entao esse \delta=\epsilon/2...
entao pela definiçao temos:
dado um \epsilon=\delta/2,talq. \left|x-1 \right|\prec \epsilon/2\Rightarrow \left|{x}^{2}-1 \right|\prec \left|x+1 \right|.\epsilon/2\prec 2.\epsilon/2=\epsilon
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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