Calculo de integrais triplas com coordenadas esféricas

por **Fernandobertolaccini** » Sex Jan 23, 2015 11:44

Calcular $\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}(x^2+y^2)dxdydz$ onde os limites de integração são:
$-R\leq x \leq R ; -\sqrt[]{R^2-x^2} \leq y \leq \sqrt[]{R^2-x^2}; 0 \leq z \leq \sqrt[]{R^2-x^2-y^2}$

Obs: tem que passar para coordenadas esféricas.

Resp: 4piR^5/15

Minha resposta deu 16piR^2/15, queria a resolução para saber no que errei

Obrigado !

por **adauto martins** » Ter Jan 27, 2015 20:16

faz-se:
$x=Rsen\phi.cos\theta\Rightarrow dx=-R.cos\phi.cos\theta d\phi$
$y=Rsen\phi.sen\theta\Rightarrow dy=R.cos\phi.sen\theta d\phi$
$z=Rcos\phi\Rightarrow dz=-R.sen\phi d\phi$ ...
$R\succeq 0,\phi\in[0,\pi],\theta\in [0,2\pi]$ ...
$\phi=0\Rightarrow x=0,\phi=\pi\Rightarrow x=0$
$\phi=0\Rightarrow y=0,\phi=\pi\Rightarrow y=0$ ... $\phi=0\Rightarrow z=1,\phi=\pi\Rightarrow z=-1$
$I=\int_{0}^{R}(\int_{-R}^{R}(\int_{-R}^{R}({Rsen\phi.cos\theta})^{2}+({Rsen\phi.sen\theta})^{2}.{R}^{3}{cos\phi}^{2}.sen\phi.cos\theta.sen\theta d\phi)d\phi)d\phi$ ...ai meu amigo eh calcular em relaçao a $\phi$ ,e depois em relaçao a $\theta$ ,analogamente q. foi feito em $\phi...$

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