Descobrir a medida da sequência dos quadrados

por **MARCION** » Seg Dez 15, 2014 15:34

Boa tarde,

Necessito resolver o exercício abaixo. Grato pela ajuda!!

Márcio.

por **Russman** » Seg Dez 15, 2014 18:43

Vamos chamar de L_n

o comprimento do lado do n-ésimo quadrado, a contar de n=1 até n=5.

Facilmente você perceberá que, por exemplo, aplicando o Teorema de Pitágoras no triangulo retângulo da esquerda formado pelo 5° e 4° quadrado temos

$L_4^2 = (\frac{L_5}{2})^2 + (\frac{L_5}{2})^2 \Rightarrow L_5 = L_4 \sqrt{2}$ .

Repetindo para os outros você logo notará que $L_{n+1} = \sqrt{2} L_n$ . Esta equação de recorrência configura uma P.G. de razão $\sqrt{2}$ . A solução geral e, potanto,

$L_n = c 2^{\frac{n}{2}}$ .

Já que L_5 = 1

cm, então $c = 2^{-\frac{5}{2}}$ e, logo, $L_n = 2^{\frac{n-5}{2}$ .

Agora, a área do n-ésimo quadrado é, como sabemos, o quadrado do comprimento do lado. Assim,

$A_n = L_n^2 = 2^{n-5}$ .

por **MARCION** » Seg Dez 15, 2014 19:09

Boa noite Russman,
Primeiramente grato pela atenção!

Sou extremamente cru neste assunto!

Analisando visualmente, creio que cada quadrado interno é a metade do externo.

Então se o primeiro tem 1 cm, o segundo tem 0,5 cm, o terceiro 0,25, o quarto 0,125 e o quinto 0,075, como há variação entre os valores, entendo que é uma progressão geométrica.

Como aplico essa fórmula?

2 n-5
A = L = 2 =
n n

Grato,

Márcio

por **Russman** » Seg Dez 15, 2014 19:18

MARCION escreveu:Analisando visualmente, creio que cada quadrado interno é a metade do externo.

Então se o primeiro tem 1 cm, o segundo tem 0,5 cm, o terceiro 0,25, o quarto 0,125 e o quinto 0,075

Não!

O lado do quadrado mais interno é a hipotenusa do triângulo retângulo formado pelos catetos que, aí sim, são metade dos lados do quadrado mais externo.

Cuidado.

por **MARCION** » Ter Dez 16, 2014 08:05

Bom dia,

Montei um quadrado e dobrei!! Realmente!! Os olhos enganam!

Fiz um quadrado de 10 cm e com a primeira dobra, cada lado foi para 7 cm e não 5 cm.
Foi para 5 cm apenas na segunda dobra, na terceira foi para 3,5, na quarta 2,5 e na quinta 1,75, passando para a escala de 1 cm, terei: 0,7/ 0,5/0,35/0,25/0,175.

Estou tentando ajudar minha filha e vejo que vamos ter que nos aprofundar muito para aprender os mistérios da matemática.

Grato pela ajuda,

Márcio :-)