Dúvida - desafio

por **marinalcd** » Qui Mar 06, 2014 16:37

Estou ajudando um colega e ele me apresentou este desafio que não conseguiu resolver:

Mostre que os anéis $A = \{ \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} ; a,b \in Z \}$

e
$B = Z[\sqrt[]{2}] = \{ a + b\sqrt[]{2} ; a,b \in Z\}$
não são isomorfos.

A dica é supor um homomorfismo $f: A\rightarrow B$ e mostrar que
$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in N (f) ou \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in N (f)$ .

Tentei provar que N(f) não é injetora, mas não estou conseguindo resolver este desafio.
Alguém pode me ajudar?

por **adauto martins** » Sex Dez 05, 2014 17:25

A={ $\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix}$ $=a\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} +b\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ , $aeb\in Z$ }
vamos tomar $f:A\rightarrow B$ seja um homomorfismo,f(x)=y,onde $x\in A, y\in B$ ...logo teremos
$f(x+y)=f(x)+f(y) e f(x.y)=f(x).f(y)/ x,y \in A$
f( $(\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} c & 0 \\ 0 & d \end{pmatrix})=f(\begin{pmatrix} a.c & 0 \\ 0 & b.d \end{pmatrix})= f(\begin{pmatrix} a.c & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}).f(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & c.d \end{pmatrix})= (a.c+0\sqrt[]{2}).(0+c.d\sqrt[]{2})$ $=a.b.c.d\sqrt[]{2}$ $=p\sqrt[]{2},p\in Z$ $\Rightarrow f(x.y)nao pertence a B...$ ,logo A nao e isomorfo a B

por **adauto martins** » Sáb Dez 06, 2014 12:37

uma correçao .... $f( \begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix} .\begin{pmatrix} a & 0 \\ 0 & b \end{pmatrix})= f(\begin{pmatrix} a.c & 0 \\ 0 & b.d \end{pmatrix})=a.c+d.b\sqrt[]{2}$
$\neq f( \begin{pmatrix} a.c & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}).f(\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & b.d \end{pmatrix})=(a.c+0\sqrt[]{2}).(0+b.d\sqrt[]{2})=a.b.c.d\sqrt[]{2}=p\sqrt[]{2}$ logo nao satisfaz a propriedade multiplicativa de homomorfismos de A em B...obrigado

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