[Integral] para calcular volume

por **neoreload** » Sex Nov 21, 2014 05:26

Pessoal eu tentei fazer essa questão:

Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de $r(t)=100e^{-0,01t}$ litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?
Resposta = 4512L
Coloquei o tempo em 60minutos, e tentei fazer assim:
$V=\int_0^{60}r(t)\,dt$ .
$V=100\int_0^{60}e^{-0,01 t}\,dt$ . Nessa parte fiz substituição e cheguei eim:
$V=[\frac{100}{-0,01}\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}$

$V=[-10000\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}$

$V=(-10000\cdot e^{-0,6})-(-10000\cdot e^{0})$

Ai que complicou, pq resolvendo isso, eu chego em $-10000\cdot e^{-0,6}$ que da -5488. Bem diferente da resposta que é 4512. Percebi que se eu diminuir o -5488 de +10000 da a resposta. Mas de onde deveria vir os 10000? errei algo?

por **felipederaldino** » Qua Nov 26, 2014 11:16

neoreload escreveu:Pessoal eu tentei fazer essa questão:

Um tanque de armazenamento de petróleo sofre uma ruptura em t = 0 e o petróleo vaza do tanque a uma taxa de $r(t)=100e^{-0,01t}$ litros por minuto. Quanto petróleo vazou na primeira hora?
Resposta = 4512L
Coloquei o tempo em 60minutos, e tentei fazer assim:
$V=\int_0^{60}r(t)\,dt$ .
$V=100\int_0^{60}e^{-0,01 t}\,dt$ . Nessa parte fiz substituição e cheguei eim:
$V=[\frac{100}{-0,01}\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}$

$V=[-10000\cdot e^{-0,01t}]_0^{60}$

$V=(-10000\cdot e^{-0,6})-(-10000\cdot e^{0})$

Ai que complicou, pq resolvendo isso, eu chego em $-10000\cdot e^{-0,6}$ que da -5488. Bem diferente da resposta que é 4512. Percebi que se eu diminuir o -5488 de +10000 da a resposta. Mas de onde deveria vir os 10000? errei algo?

você errou na hora do calculo

Segue a resolução da integral:

$\int_{0}^{60}100{e}^{-0,01t}.dt 100\int_{0}^{60}{e}^{-0,01t}.dt 100.{e}^{-0,01t}.\left(-100 \right) -10000 \left[{e}^{\left(-0,01 \right)60} - {e}^{\left(-0,01 \right).0}\right] -10000\left[-0,4512 \right] r\left(60 \right) = 4512L$

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