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[Equações Diferenciais] Exercício URGENTE!

[Equações Diferenciais] Exercício URGENTE!

Mensagempor lucasfbfb » Seg Nov 17, 2014 10:36

Tou precisando fazer a questão a baixo e sinceramente não sei se o método que eu fiz esta certo. Eu estou desesperado, pf me ajudem!!!

De acordo com a lei de parento da economia, a taxa de variação (negativa) do número de pessoas P em uma economia estável que tem uma renda de pelo menos x reais é inversamente proporcional à renda dessas pessoas. Expresse esta lei como uma equação diferencial e resolva a equação para obter a função P(x).

minha ultima resolução o resultado deu -C/x^2, sendo c uma constante
lucasfbfb
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Re: [Equações Diferenciais] Exercício URGENTE!

Mensagempor nakagumahissao » Seg Nov 17, 2014 10:50

lucasfbfb,


Essa não tenho total certeza, mas de acordo com o enunciado do problema:

-\frac{dP}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{dP}{dx} = -\frac{1}{x}\Leftrightarrow dP = -\frac{1}{x}dx \Rightarrow \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow

\Leftrightarrow  \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow \int_{}^{}P = -\int_{}^{}\frac{1}{x}dx \Rightarrow P = -ln\left|x \right| + C

Assim, a função procurada é:

P(x) = -ln\left|x \right| + C

Se alguém puder me informar se esta solução está correta, agradeço desde já.
Eu faço a diferença. E você?

Do Poema: Quanto os professores "fazem"?
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Re: [Equações Diferenciais] Exercício URGENTE!

Mensagempor lucasfbfb » Seg Nov 17, 2014 15:23

nakagumahissao escreveu:lucasfbfb,


Essa não tenho total certeza, mas de acordo com o enunciado do problema:

-\frac{dP}{dx} = \frac{1}{x} \Leftrightarrow \frac{dP}{dx} = -\frac{1}{x}\Leftrightarrow dP = -\frac{1}{x}dx \Rightarrow \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow

\Leftrightarrow  \int_{}^{}P = \int_{}^{}-\frac{1}{x}dx \Leftrightarrow \int_{}^{}P = -\int_{}^{}\frac{1}{x}dx \Rightarrow P = -ln\left|x \right| + C

Assim, a função procurada é:

P(x) = -ln\left|x \right| + C

Se alguém puder me informar se esta solução está correta, agradeço desde já.


Fiz como sua metodologia então seria assim?

\frac{1}{x}\Rightarrow dx=-\frac{1}{{x}^{2}}

P= \frac{1}{x} \Leftrightarrow dP = \frac{-1}{{x}^{2}}dx \Leftrightarrow \int_{}^{} P = - \int_{}^{} \frac{1}{{x}^{2}}dx \Leftrightarrow -\int_{}^{} {x}^{-2}dx \Leftrightarrow -{x}^{-1} + c

{x}^{-1} \Rightarrow dx = {x}^{-2}
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.


Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s


Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}