exercicio proposto (UEMS-2006)

por **felipederaldino** » Qua Nov 05, 2014 18:12

não consegui resolver essa função, se alguém puder me ajudar eu agradeço

Seja a equação $\frac{4{x}^{2}+13x-9}{ {x}^{3}+2{x}^{2}-3x} = \frac{A}{x}+\frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x+3)}$ , em que A, B e C são números reais. Pode-se afirmar que:

( ) A= 2, B= 3 e C= 1

( ) A= 1, B= 4 e C= 2

( ) A= 3, B= 2 e C= -1

( ) A= 5, B= 3 e C= 0

( ) A = B = C

por **Russman** » Qua Nov 05, 2014 21:56

De fato, podemos fazer essa separação. Lembre-se que na soma de frações a base da mesma é o produto das bases antigas. Isto é,

$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = ]\frac{bx+ay}{ab}$ .

Mas, podemos também fazer o processo inverso. Ou seja, dada uma fração $\frac{x}{c}$ buscar duas outras tais que somadas resultem nesta. Em geral, isto é feito quando c não é primo.

Exemplo: $\frac{2}{15}$ . Note que 15=3.5. Assim, buscamos duas constantes A e B tais que

$\frac{A}{3} + \frac{B}{5} = \frac{2}{15}$ .

Isto resulta em infinitas possiblidades para A e B se os mesmos forem reais ou um número finito de possibilidades par a A e B inteiros já que é necessário que se cumpra 5A+3B = 2

.

Porém, este processo fica mais interessante para o quociente entre polinômios. As aplicações são úteis, em geral, para efetuar integrações destes quocientes. Se voc? deseja efetuar o processo para o quociente $\frac{p(x)}{q(x)}$ e o polinômio q(x)

tem n raízes reais ,então é possível mostrar que existem n números A_i

tais que

$\frac{p(x)}{q(x)} = \frac{A_1}{(x-x_1)} + ...+\frac{A_n}{(x-x_n)}$

onde x_i

denota a i-ésima raízes real simples de q(x)

.

No seu caso, p(x) = 4x^2 + 13x - 9

e

. Note que q(x)

tem três raízes reais simples respectivamente, x=-3,0,1

. Assim, devem existir tres números reais, por exemplo, A,B e C tais que

$\frac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x} = \frac{A}{x} + \frac{B}{(x-1)}+\frac{C}{(x+3)}$

Agora, para determinar esses números basta somar as frações da direita e aplicar a igualdade de polinômios. Veja

$\frac{4x^2+13x-9}{x^3+2x^2-3x} = \frac{A(x-1)(x+3)+Bx(x+3)+C x(x-1)}{x(x-1)(x+3)}$

Mas, q(x) = x(x-1)(x+3)

. Assim, agrupando os termos no denominador da freação da direita e simplificando q(x)

obtemos

que deve ser uma igualdade para qualquer x. Isto é, os polinÇomios da esquerda e direita devem ser identicos. Isto ocorre se, e somente se, os coeficientes de cada potência forem o mesmo número real. Assim,

A+B+C = 4