pista circular

por **adauto martins** » Seg Set 29, 2014 15:45

um atleta percorrendo uma pista circular,parte do repouso,da uma volta completa e para.usando conceitos do calculo,mostre q. em algum lugar da pista,em algum ponto, pontos diametralmente opostos,suas velocidades sao iguais.

por **adauto martins** » Sex Jul 22, 2016 17:04

seja $v:(0,2\pi)\rightarrow \Re$ a funçao velocidade em funçao do percurso,no caso um circulo e $s={s}_{0}+\pi$ ,o $\pi$ é justamente para tomarmos pontos diametralmente opostos...
temos q. $v(0)=v(2\pi)=0$ dados do problema...vamos definir:
$\varphi:(0,\pi)\rightarrow \Re$ uma funçao continua e diferencial no intervalo dado,como
$\varphi(s)=v(s)-v({s}_{0})$ ...logo:
$\varphi(0)=v({s}_{0}+\pi)-v({s}_{0})=v(0+\pi)-v(0)=v(\pi)... \varphi(\pi)=v(\pi+\pi)-v(\pi)=v(2\pi)-v(\pi)=-v(\pi)$ ...temos entao q.
$\varphi(0).\varphi(\pi)\prec 0$ (por que?)...logo pelo teorema de bolzano-weierstrass,existe em $c\in (0,\pi)$
tal que $\varphi(c)=0\Rightarrow v(c+\pi)-v(s)=0\Rightarrow v(c)=v(c+\pi)$ ...cqd...

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