[Cálculo Diferencial e Integral I] Derivada

por **Pessoa Estranha** » Qui Set 25, 2014 13:03

Olá!

Preciso de ajuda para resolver o seguinte exercício:

"Obter a equação da reta tangente à curva $y = \frac{{e}^{x} + {e}^{-x}}{2}$ em x = -2

".

Minha resolução:

$\frac{dy}{dx} = \frac{{e}^{x}(1-2{x}^{-2})}{4}$

$(y-{y}_{o}) = \frac{dy}{d{x}_{o}}(x-{x}_{o})$

$(y-{y}_{o}) = \frac{dy}{d{x}_{o}}(x-{x}_{o}) \rightarrow$ $(y-f({x}_{o})) = \frac{{e}^{-2}(1-2{(-2)}^{-2})}{4}.(x - (-2))$ $\rightarrow (y - \frac{{e}^{-2} + {e}^{2}}{2}) = \frac{{e}^{-2}.(1-\frac{1}{2})}{4}.(x+2)$

$y = \frac{{e}^{-2}}{8}.(x+2) + \frac{{e}^{-2}+{e}^{2}}{2}$ $\rightarrow y = \frac{{e}^{-2}(x+6) + 4{e}^{2}}{8}$

Resposta do Livro:

$y = \frac{({e}^{-2}-{e}^{2})x}{2} + \frac{3{e}^{-2}-{e}^{2}}{2}$

Tentei fazer algumas manipulações algébricas para tentar chegar numa equivalência das expressões, mas não deu certo.

Por favor, podem me ajudar?

Muito Obrigada!

por **DanielFerreira** » Qui Set 25, 2014 21:57

Derivemos,

$\\ y = \frac{e^x + e^{- x}}{2} \\\\\\ y = \frac{e^x + \frac{1}{e^x}}{2} \\\\\\ y' = \frac{\left( e^x + \frac{0 \cdot e^x - 1 \cdot e^x}{(e^x)^2} \right) \cdot 2 - \left( e^x + \frac{1}{e^x} \right) \cdot 0}{4} \\\\\\ y' = \frac{2 \cdot \left( e^x - \frac{1}{e^x} \right)}{4} \\\\\\ \boxed{y' = \frac{e^x - e^{- x}}{2}}$

Sabemos que a equação da reta tangente... no ponto (p, f(p))

é dada por $f(x) = f'(x) \cdot (x - p) + f(p)$

$\\ f'(x) = \lim_{x \rightarrow p} \frac{f(x) - f(p)}{x - p} \\\\\\ f(x) = f'(x) \cdot (x - p) + f(p) \\\\\\ f(x) = \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot \left( x - 2 \right) + \frac{e^2 + e^{- 2}}{2} \\\\\\ f(x) = \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot x + \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot (- 2) + \frac{e^2 + e^{- 2}}{2} \\\\\\ f(x) = \left( \frac{e^2 - e^{- 2}}{2} \right) \cdot x + \left( \frac{-2e^2 + 2e^{- 2}}{2} \right) + \frac{e^2 + e^{- 2}}{2} \\\\\\ \boxed{\boxed{f(x) = \frac{(e^2 - e^{- 2})x}{2} + \frac{3e^{- 2} - e^2}{2}}}$