[Álgebra Linear] A prova é amanhã!

por **Pessoa Estranha** » Seg Set 08, 2014 18:42

Boa tarde, pessoal! Preciso de ajuda!

Determinar um vetor unitário do ${\Re}^{3}$ que seja ortogonal a todos os vetores do subespaço $W = \left[(1, 2, -1),(-1,0,2) \right]$ .

Para fazermos isto, precisamos, primeiro, encontrar uma base ortonormal para W. Consegui encontrá-la através do Processo de Gram-Schmidt. Seja B essa base. Segue: $B = \left(\frac{1}{\sqrt[]{6}}(1,2,-1), \frac{1}{\sqrt[]{14}} (-1,2, 3) \right)$ . Daí, temos um resultado que garante-nos que v = u - <u, k1>k1 - <u, k2>k2

é o vetor ortogonal a todos os elementos de W, onde k1, k2

são os elementos da base B e, u é um vetor qualquer de W, u = (a, b, c), por exemplo. Porém, eu simplesmente não consigo chegar ao resultado! Obtive umas frações com numeradores e denominadores gigantes! Por favor, preciso muito de ajuda!!!!

Muito Obrigada!

por **e8group** » Qui Set 11, 2014 08:37

Outra forma de pensar usando conhecimentos da G.A .

Note que estamos trabalhando com um subespaço do $\mathbb{R}^3$ que é um plano que passa pela origem gerado pelos vetores v = (1,2,-1) ; u =(-1,0,2)

.Pois bem , da G.A. sabemos que o produto vetorial entre u e v( $u \times v$ ) é ortogonal ao plano em questão , i.e, ele é ortogonal a todos vetores de W . E por fim concluímos que qualquer vetor que está na mesma direção de $u \times v$ também é ortogonal a todos vetores de W . Assim , o vetor requerido será dado por

$\frac{u\times v}{||u\times v||}$ ou $-\frac{u\times v}{||u\times v||}$ . Fazendo as contas , vc tem que

$u\times v = (4,-1,2)$ e $|| u\times v || =\sqrt{21}$ ....