Integral por frações parciais

por **Fernandobertolaccini** » Seg Jul 21, 2014 20:02

Calcule:

$\int_{}^{}\frac{dx}{(x^2-x)(x-2)}$

Resp: $\frac{1}{2}lnx-ln(x-1)+\frac{1}{2}ln(x-2) + C$

Muito Obrigado !!!

por **e8group** » Ter Jul 22, 2014 01:25

Não há muito que fazer ... é conta mesmo ! Comece a notar que

(x^2-x)(x-2) = x(x-1)(x-2)

. Desta forma , temos que pela teoria frações parciais existe (A,B,C reais ) tal que

$\frac{1}{x(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2}$ .

Determinando A,B e C(faça as contas ) a integral requerida se resume a computar $\int \frac{A}{x} + \frac{B}{x-1} + \frac{C}{x-2} dx = A \int \frac{1}{x} dx + B \int \frac{1}{x-1} dx + C \int \frac{1}{x-2} dx$ .

Note que sabemos integrar termos da forma $\frac{1}{ax +b}$ (qual a resposta ?) .

Curiosidade :

É possível determinar A,B,C

em termos da derivada do polinômio do denominador aplicado em suas raízes distintas

É o que diz o lemma abaixo

Sejam p,q

polinômios com deg(q) = n > deg(p)

e $q(x) = \prod_{k=1}^n (x- x_{k}) : x_i \neq x_j \forall i \neq j$ então

$\frac{p(x)}{q(x)} = \sum_{k=1}^{n} \frac{\alpha_k}{x-x_k}$ com $\alpha_k = \frac{p(x_k)}{q'(x_k)} , k\in \{1,2 ,\hdots , n\}$ .

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Re: Integral por frações parciais

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