Derivada: minimos e máximos

por **Fernandobertolaccini** » Dom Jul 13, 2014 23:03

Encontre a, b e c de modo que a função f(x) = ax² + bx + c tenha um máximo relativo no ponto P(5,20) e que passe pelo ponto Q(2,10).

resp: $a=\frac{-10}{9},b=\frac{100}{9},c=\frac{-70}{9}$

Alguém se habilita?

por **e8group** » Seg Jul 14, 2014 01:33

Dá para fazer sem derivada .

Completando quadrados :

$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}) = a( [x^2 + 2 \cdot x \cdot \frac{b}{2a} + \frac{b^2}{4a^2} ] - \frac{b^2}{4a^2} + \frac{c}{a}) = a(x + \frac{b}{2a})^2 + c - \frac{b^2}{4a}$ .

Se a < 0 temos que $a(x + \frac{b}{2a})^2 \leq 0$ para todo x e portanto f(x) assume valor máximo quando $x = - \frac{b}{2a}$ e este valor é $c - \frac{b^2}{4a}$ .Comparando com as condições do enunciado temos

$\begin{cases} - \frac{b}{2a} = 5 \\ c - \frac{b^2}{4a} = 20 \end{cases}$ ou

$\begin{cases} - \frac{b}{2a} = 5 \\ c +5 \frac{b}{2} = 20 \end{cases}$ ou ainda

$\begin{cases} -b -10 a = 0 \\ 2c +5b = 40 \end{cases}$
Agora usamos o ponto Q dado e caímos em um sistema linear 3 por 3

$\begin{cases} -b -10 a = 0 \\ 2c +5b = 40 \\ 4a +2b + c = 10 \end{cases}$

Resolvendo obterá :

http://www.wolframalpha.com/input/?i=-b ... +%3D+10+++

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