Derivada por definição

por **Carolminera** » Dom Jul 06, 2014 12:59

Esboce o gráfico de f (x) = x|x|. Para que valores de x, f é diferenciável? Encontre uma fórmula para f ' .

Alguém ajuda?

por **young_jedi** » Dom Jul 06, 2014 14:08

podemos dizer o seguinte

$f(x)=\begin{cases}x<0&f(x)=-x^2\\x\geq0&f(x)=x^2\end{cases}$

esta função é diferenciavel em qualquer ponto da mesma, pois é uma função continua

uma formula para a derivada seria derivar a função em cada uma das condições

$f'(x)=\begin{cases}x<0&f'(x)=-2x\\x\geq0&f'(x)=2x\end{cases}$

por **Carolminera** » Dom Jul 06, 2014 14:54

Poxa, muitoo obrigada!

por **Man Utd** » Dom Jul 06, 2014 22:47

young_jedi escreveu:podemos dizer o seguinte

$f(x)=\begin{cases}x<0&f(x)=-x^2\\x\geq0&f(x)=x^2\end{cases}$

esta função é diferenciavel em qualquer ponto da mesma, pois é uma função continua

uma formula para a derivada seria derivar a função em cada uma das condições

$f'(x)=\begin{cases}x<0&f'(x)=-2x\\x\geq0&f'(x)=2x\end{cases}$

young_jedi , eu não entendi o porque da função ser continua implica que é derivavél em todos os pontos, pois a continuidade é uma condição necessária mas não suficiente para derivabilidade,poderia me explicar com mais detalhes?

abraço

por **young_jedi** » Dom Jul 06, 2014 23:17

realamente o fato da função ser continua não garante que seja diferenciavel

neste caso a dificuldade é de verificar se ela é diferenciavel em x=0 pois nos demais pontos é facil verificar que ela é diferenciavel
fazendo pelo limite

$\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\lim_{h\to0^+}\frac{(x+h).|x+h|-x|x|}{h}$

neste caso temos que fazer os limites laterais por causa do modulo, sendo esta derivada aplicada no ponto x=0 então h tendendo a 0 pela direita implica que

|x+h|=x+h

portanto podemos dizer que

$\lim_{h\to0^+}\frac{(x+h).|x+h|-x|x|}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{(x+h).(x+h)-x.x}{h}=\lim_{h\to0^+}\frac{x^2+2xh+h^2-x2}{h}$

$\lim_{h\to0^+}2x+h=0$

agora tomando o limite pela esquerda

$\lim_{h\to0^-}\frac{(x+h).|x+h|-x|x|}{h}$

sendo esta derivada aplicada no ponto x=0 então h tendendo a 0 pela esquerda implica que

|x+h|=-x-h

portanto podemos dizer que

$\lim_{h\to0^-}\frac{(x+h).|x+h|-x|x|}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{(x+h).(-x-h)-x.x}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-x^2-2xh-h^2-x2}{h}$

$\lim_{h\to0^-}\frac{-2x^2-2xh-h^2}{h}$

como x=0

$\lim_{h\to0^-}\frac{-2x^2-2xh-h^2}{h}=\lim_{h\to0^-}\frac{-h^2}{h}=0$

como o dois limites laterais são iguais a zero então temos que o limite é igual zero portanto a função é diferenciavel em x=0