[polinômio de taylor] - dúvida em exercício

por **natanaelskt** » Dom Jun 29, 2014 13:02

Estou com dúvida neste exercício,na verdade nem sei como começar a fazer. me ajudem ai galera. postei o exercício em anexo. mas já to começando a aprender o látex. mas minhas provas tá perto,por isso to postando até ficar bom no látex.
tem um outro parecido com este que também não sei como começar a fazer. irei postar este também. alguém poderia me indicar um livro que tem exercícios resolvidos de cálculo I? eu precisava de um livro com exercícios difíceis resolvidos. eu acho tenho listas com exercícios daora para a prova,mas estão sem respostas. e não consigo fazer a maioria,por isso to postando aqui.

por **e8group** » Dom Jun 29, 2014 14:21

Segue direto da definição (tome f(x) = polinômio dado ) .Então ,

f(x) = p_5(x;0) + R_5(x;0)

.Onde : $p_5(x;0) = \sum_{k=0}^5 \frac{D^k [f (0)](x-0)^k}{k!}$ e R_5(x;0)

pode ser computado de diversas formas (conheço duas : Forma Lagrange e Forma Cauchy , pode google p/ ver )

Exemplo :

$(a+b)^{n} = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k} b^{k}$ (Teorema binomial )

Dem. (Usando Taylor polinômio + erro associado pela forma Lagrange)

Defina $f_n : x \mapsto (a+x)^n$ . ( $n \in \mathbb{N} , a \in \mathbb{R}$ )

Podemos escrever (vide def. livros de análise numérica ) $f_n(x) = \sum_{k=0}^{n} \frac{D^k[f_n(0)] (x-0)^k}{k!} + R_n(x;0) =$ .

Note que

D^0(f_n(x)) = (a+x)^n

$D^1 f(x) = n \cdot (a+x)^{n-1}$

$D^2(f(x)) = n \cdot (n-1) (a+x)^{n-2}$

$D^{3} f(x) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot (a+x)^{n-3}$

(...)

Expressão geral : (k= 0 ,1,2,3,...,n) :

$D^j f(x) = n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n+1 -j) \cdot (a+x)^{n-j}$

Mas , $n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n+1 -j) =$

$= n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n+1 -j) \cdot \underbrace{ \frac{(n-j) (n-1 -j) \cdot (n-2-j) \cdots 1 }{(n-j) (n-1 -j) \cdot (n-2-j) \cdots 1} }_{1} =$

$= \frac{ \overbrace{ n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdots (n+1 -j) \cdot (n-j) (n-1 -j) \cdot (n-2-j) \cdots 1}^{n!} }{ \underbrace{(n-j) (n-1 -j) \cdot (n-2-j) \cdots 1}_{(n-j)!}}$

Logo , $D^kf(x) = \frac{n!}{(n-k)!}(a+x)^{n-k}$ o que implica que $D^k f(0) = \frac{n!}{(n-k)!} a^{n-k}$ .

Assim , obtemos

$f_n(x) = \sum_{k=0}^n \frac{n!}{(n-k)!k!} a^{n-k}x^k + R_n(x;0) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} a^{n-k}x^k + R_n(x;0)$ .

Mas, qualquer derivada de ordem superiores ao grau

do polinômio relativo ao mesmo é constante igual a zero , então pela forma de Lagrange temos R_n(x;0) = 0

e o resultado segue .