reta tangente

por **Janoca** » Sex Jun 27, 2014 02:47

Sabe-se que r é uma reta tangente aos gráficos de f(x)= -x^2

e de $g(x)= \frac{1}{2}+x^2$ . Determine r.

Nessa questão tive dificuldade, pois ele não me deu os pontos que a reta pedida passa. Qualquer ajuda é bem vinda!

por **Russman** » Sex Jun 27, 2014 17:29

Antes de atacar o problema vamos deduzir a equação da reta tangente

a uma função qualquer f(x)

.
Seja

a reta tangente a f(x)

no ponto

. Sabemos que a inclinação de r neste ponto será dada pela derivada da função aplicada no mesmo. Então, se $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(x)=f'(x)$ , a=f'(x_0)

. Como a reta e a função compartilham a ordenada é preciso que y(x_0) = f(x_0)

de onde

.
Portanto, y(x) = (f'(x_0)) x + f(x_0) - x_0f'(x_0)

.

Agora, se as funções compartilham a mesma reta tangente é preciso, necessariamente, que se obtenha a mesma inclinação para ambas funções. Se para f(x) = -x^2

o ponto de tangência tem coordenadas (x_f,y_f)

e para $g(x) = \frac{1}{2}+x^2$ tem coordenadas (x_g,y_g)

, então

$\frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x}(x_f)=\frac{\mathrm{d} g}{\mathrm{d} x}(x_g)$

de onde x_f = -x_g

. Os pontos de tangência são simétricos. Tudo bem até aqui?

Agora, suponha que a reta r seja da forma y(x) = ax+b

onde ,como já sabemos, a = -2x_f = 2x_g

. Assim,
$b = f(x_f) - x_f(-2x_f) = g(x_g) - x_g(2x_g) \Rightarrow -x_f^2 + 2 x_f^2 = \frac{1}{2} + x_g^2 - 2x_g^2 \Rightarrow$
$\Rightarrow x_f^2 = \frac{1}{2} - x_g^2$

Agora, temos um sistema de duas equações para resolver para x_f

e

.

$\left\{\begin{matrix} x_f+x_g=0\\ x_f^2+x_g^2=\frac{1}{2} \end{matrix}\right.$

Substituindo a 1° na 2°, vem que $x_f = \pm \frac{1}{2}$ . Assim, as retas tangentes são

$y(x) = -x + \frac{1}{4}$
$y(x) = x + \frac{1}{4}$

por **Janoca** » Seg Jun 30, 2014 00:30

Obrigada pela ajuda. Consegui resolver :y:

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