Equação Diofantina Quadrática

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Equação Diofantina Quadrática

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Equação Diofantina Quadrática

Mensagempor CJunior » Qui Jun 26, 2014 10:53

Olá, pessoal! Estou em dúvida no seguinte problema:

Determine todos os pares (x,y) de inteiros positivos que satisfazem a equação
x^{2}-xy+2x-3y=2013.

OBS.:Considerei essa equação como uma equação do segundo grau em x ( já que x^{2}-xy+2x-3y=2013 \iff x^2-x(y-2)-3y-2013=0), donde \Delta=(-(y-2))^2-4 \cdot 1 \cdot (-3y-2013)=(2-y)^{2}-4 \cdot (-3y-2013)=4-4y+y^2+12y+8052=y^2+8y+8056.Aí depois eu não sei mais como prosseguir a resolução!!!Desde já, muito obrigado pela ajuda!!!
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Re: Equação Diofantina Quadrática

Mensagempor Russman » Qui Jun 26, 2014 21:31

Eu acho que a sua abordagem não é a melhor.Eu pensei em fazer o seguinte:

De fato, você pode escrever

x^2-xy+2x-3y = (x-y-1)(x+3) + 3

Verifique!

Assim, a sua equação se torna

(x-y-1)(x+3) + 3 = 2013
(x-y-1)(x+3) =2010

Como 2010 = 2.3.5.67, então

(x-y-1)(x+3) =2.3.5.67

Por exemplo, um par inteiro solução da equação é x=64 e y=33. Eu fiz x+3 = 67 e (x-y-1)=30 de onde segue. Agora basta calcular os outros. Eu ACHO que a quantidade de pares será a combinação de 4, 2 a 2 multiplicada pela combinação de 4, 3 a 3. Ou seja, 24 pares diferentes. Mas não tenho certeza.
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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