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Resolução de Limite

Resolução de Limite

Mensagempor phfrito » Qua Mai 07, 2014 23:16

estou com uma dificuldade tremenda para resolver limites contendo polinomios do primeiro e segundo grau especialmente este : \lim_{x->2} \frac{{x}^{3} +3{x}^{2}-12x +4}{{x}^{3}-4x}

alguem tem algum método para fatorar?encontrar raízes? me deem uma luz.. ja estou há 2 dias na internet procurando algo mas nada consegue satisfazer o ensino para terminar de resolver esse tipo de limite, não só esse em especial, vários outros envolvendo polinomios tenho bastante dificuldade para resolver.

abraços
phfrito
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Re: Resolução de Limite

Mensagempor e8group » Qui Mai 08, 2014 02:36

Dica para calcular limites de funções racionais (razão de polinômios )

Queremos computar limites de funções racionais : \lim_{x\to a } \frac{p(x)}{q(x)} .

Primeiramente , certifique-se a é raiz de p(x) e q(x) .Isto é , se p(a) = q(a) = 0 .

Se isto acima não ocorrer , não teremos indeterminação (0/0) e assim o calculo do limite segue diretamente pela regra do quociente . Possa ser que este limite seja finito ou não .

Agora suponha que a situação descrita acima ocorra .
Neste caso, podemos reescrever cada polinômio como expressões da forma (x-a)h(x)( onde h(x) é um polinômio ) que por conseguinte os fatores em comum se cancelam no calculo do limite . Após esta etapa , caímos novamente no problema de computar limites de funções racionais . E novamente fazemos a mesma verificação .


Para reescrever um dos polinômios como (x-a)h(x) em geral dividimos ele por x -a . Porém não é a único modo embora mais comum .


É possível fatorar p(x) = x^3 + 3x^2 -12x +4 sem o método da divisão também , bem como você quiser .

p(2) = 0 .

E

p(x) = (x^3 + 3 x^2) + (-12x +4) .

Os termos entre parêntesis avaliados em x = 2 são diferentes de zero (mas soma deles zero , certo ?) .

A saber , (2^3 + 3 2^2 ) = 20 e (-12\ cdot 2  +4) = -20 .

Soma-se então -20 em (x^3 + 3 x^2 ) e 20 em (-12\ cdot x  +4) , desta forma ambas parcelas zeraram em x = 2 e terão o mesmo fator x-2 em comum que poderemos deixá-ló em evidência . Além disso , a igualdade permanece

p(x) = (x^3 + 3 x^2 - 20  ) +  (-12\ cdot x  + 4 -20 ) = (x^3 + 3 x^2 - 20  ) + -12(x -2) .

E também (fazendo manipulações análogas com o mesmo objetivo )

(x^3 + 3 x^2 - 20) = (x^2[x +3 ] - 20) = (x^2[x -2 + 5 ]  -20) = (x^2[x-2] + 5x^2 -20) = (x^2[x-2] + 5[x^2 -4]) .

Porém sabemos que x^2 -4 = (x-2)(x+2) . E com isso

(x^2[x-2] + 5[x^2 -4])  = (x^2[x-2] + 5[x-2][x+2]) = [x-2](x^2 +5x +10) .

Juntando os resultados

(x^3 + 3 x^2 - 20  )  -12(x -2) =  [x-2](x^2 +5x +10) -12[x -2] = [x-2](x^2 +5x + 34) e

Quanto o denominador mais simples .

q(x) = x^3 - 4x = x(x^2 -4) = x(x-2)(x+2)

Logo \lim_{x\to 2} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x\to 2} \frac{[x-2](x^2 +5x + 34)}{x(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2 +5x + 34}{x(x+2)} (pois x tende a 2 , x não é igual a 2) .

Vale ressaltar que nem sempre é simples reescrever polinômios em sua forma fatorada sem a divisão do mesmo por x - a .Portanto , o método é mais recomendado .

Uma formula útil :

x^n - a^n  ,  n = 2,3,4,5,...

Divida x^n-  a^n por x -a para obter uma fórmula que escrita na forma compacta de soma (ajuda a memorização da mesma ) é

x^n - a^n = (x-a)\sum_{k=0}^{n-1} x^{n-1-k} a^{k} .

Aceitando que a formula é verdadeira ,temos x^3 - 2^3 = (x-2)(x^2 + 2x + 4) .

Em consequência , temos outra forma de fatorar p ,

p(x) = (x^3 - 2^3) +  2^3  + 3x^2 -12x +4  = (x-2)(x^2 + 2x + 4)  + 3x^2 -12x + 12

Agora 3x^2 -12x + 12  = 3(x^2 -4x +4) .

É fácil calcular as raízes eq. segundo grau , uma já sabemos q é 2e a outra podemos ver que também é 2 , multiplicidade 2 , pois x^2 -4x +4 =  x^2 + 2 \cdot x \cdot (-2) + (-2)^2) que é o desenvolvimento de (x-2)^2 . Logo ,

3x^2 -12x + 12   = 3(x-2)^2

Juntamos o que temos

(x-2)(x^2 + 2x + 4)  + 3(x-2)^2 =  (x-2)(x^2 +2x +4 -3x -6) .
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Re: Resolução de Limite

Mensagempor e8group » Qui Mai 08, 2014 16:34

Uma generalização que pode ser útil (divisão de polinômios por termos lineares) . Objetivo é obter uma fórmula para reduzir os cálculos , fórmula esta como como x^n - a^n = (x-a)\sum_{k=0}^{n-1}  x^{n-1-k} a^k x^{n-1-k} que de fácil memorização .Com isso ganhamos praticidade na fatoração de expressões como x^3 - a^3 , x^{10} - a^{10} e etc . A motivação é o polinômio de grau n incompleto , o coeficiente a_n \neq 0 e os demais nulo . Isto é , p_n (x) = a_n x^n .

Escreva p_k(x) = a_k x^k com k = 1,2,3, \hdots , n .

Também podemos escrever p_k(x) = a_k x^k =  a_kx^k + 0 =   a_k \cdot x^k + (a_k \cdot a^k -a_k \cdot a^k) = a_k(x^k -a^k) + a_k \cdot a^k .Porém sabemos que ,

x^k - a^k = (x-a) \sum_{\lambda = 0}^{k-1}  a^{\lambda} \cdot x^{k-1-\lambda} .

Para simplificar as notações , definamos o polinômio h_{m} (x): = \sum_{\lambda = 0}^{m} a^{\lambda} \cdot x^{m-\lambda} .

Desta forma temos

\boxed{ p_k(x) = a_k(x-a)h_{k-1}  + a_k \cdot a^k }  , k=1,2,3,...,n .

Agora dado um polinômio qualquer de grau n que se exprimir por

p(x) = a_0 + \sum_{k=1}^{n} p_k(x) que devido a fórmula destacada ,

p(x) =  a_0 + \sum_{k=1}^{n}(a_k(x-a)h_{k-1}  +  a_k \cdot a^k)  = a_1 + \sum_{k=1}^{n} a_k(x-a)h_{k-1} + \sum_{k=1}^n a_k a^k ou ainda

p(x) =  \left(\sum_{k=0}^n a_k \cdot a^k \right)  + \left((x-a) \cdot \sum_{k=1}^{n} a_kq_{k-1} \right) .

A primeira expressão entre parêntesis (resto da divisão de p por (x-a) ) é o p(x) avaliado no ponto a , isto nos permite escrever


\boxed{p(x) = p(a) + (x-a) \cdot \sum_{k=1}^{n} a_kh_{k-1} } onde

\boxed{ h_{k-1} = \sum_{\lambda = 0}^{k-1} a^{\lambda} \cdot x^{k-1-\lambda} } , k = 1,2,3,\hdots , n .

Interessante é quando a é raiz de p . Isto nos fornece uma formula prática para fatorar polinômios , quando sabemos uma de suas raízes (especialmente polinômios de grau maior que 2) .

Em particular se p(x) = x^2 -2x +1 , verificamos que

p(1) + (x-1) \cdot \sum_{k=1}^{2} a_k \cdot q_{k-1} =(x-1) \cdot (a_1 q_0(x) + a_2 q_1(x)) = (x-1) \cdot ( -2 q_0(x) +  q_1(x))

Agora

h_0(x) = \sum_{\lambda=0}^0 1^{\lambda}x^{0- \lambda} = 1 ; h_1(x) = \sum_{\lambda=0}^1 1^{\lambda}x^{1- \lambda} = x + 1

Logo

p(1) + (x-1) \cdot \sum_{k=1}^{2} a_k \cdot q_{k-1} = (x-1)(-2 \cdot 1 + x +1) = p(1) +(x-1)^2 = (x-1)^2

É claro que está fórmula é apenas útil quando conhecemos uma raiz de um polinômio de grau maior ou igual a de 3 .


Mas em geral , se q é qualquer polinômio , o raciocínio pode ser assim , seja

p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k  + \sum_{k=m}^n a_k x^k   a_n \neq 0   (*) com 2 \leq n \geq m \geq 2 .Defina também , q(x) := \sum_{j=0}^s b_j \cdot x^{j}  , b_s \neq 0 com deg(q(x)) = s \leq m \leq n .

Agora q(x) (a_k x^k)  = ( q(x) - b_s x^s + b_s x^s )(a_k x^k) = (q(x) - b_s \cdot x^s) a_kx^k + (b_s x^s)(a_kx^k) com s \leq k = m,m+1,\hdots , n. Dividindo todos os termos por b_s x^s ( a princípio suponha x \neq 0 )


q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} = (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s}  + a_kx^k com isso concluímos que a_kx^k = \boxed{q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s}  - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} } . (b_s \neq 0 por hipótese ) .

A fórmula também é verdadeira para x = 0 pois 0=0 .

Assim , podemos substituir todos os termos a_k x^k com k > m -1 pela fórmula correspondente ,


p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k + \sum_{k=m}^n \left(q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s}  - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} \right) \iff  

[tex] p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k  -\sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} \cdot (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot  x^{k-s} \right)  + q(x) \sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} .

O mais importante é entender como os a_k x^k foram obtidos .

Exemplificar :

Seja a_1 = a_2 = a_3 = 1 e q(x) = x + 2  \implies b_1 = 1 .

Dá fórmula

q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s}  - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} } = a_n [tex] 


[tex] a_1 x = (x+2) -  2 \cdot 1

a_2x^2  =  (x+2)x  -  2 \cdot x^2

a_3x^3  =  (x+2)x^2 - 2 \cdot x^2

Somando os resultados o ou equivale temente

\sum_{i=1}^3 a_i x^i = (x+2)[1 +x + x^2] - 2 - 2x^2 - 2x^2 =  (x+2)[1 +x + x^2]+  -2 -4x^2 .


Quando dividimos p por q todos termos a^k \cdot x^k são também dividido. A ideia é escrever cada termo como q(x)* h(x) + r(x) e foi isso que fizemos .

Faça uma analogia entre entre razão entre número inteiros .

Dizer que m dividido por q deixar resto r implica que m = n\cdot q + r ,    r < q .
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Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46

Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25

POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?

P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50

P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25


P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833


4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3

SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37

utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24

Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.

Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45

Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23

Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18

Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40

Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias

44242:7 = 6320 + resto 2

è assim, nâo sei mais sair disso.


Assunto: Proporcionalidade
Autor: ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24

que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta


Assunto: Proporcionalidade
Autor: Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43

Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:


De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.

De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.

De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.

Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.