por phfrito » Qua Mai 07, 2014 23:16
estou com uma dificuldade tremenda para resolver limites contendo polinomios do primeiro e segundo grau especialmente este :

alguem tem algum método para fatorar?encontrar raízes? me deem uma luz.. ja estou há 2 dias na internet procurando algo mas nada consegue satisfazer o ensino para terminar de resolver esse tipo de limite, não só esse em especial, vários outros envolvendo polinomios tenho bastante dificuldade para resolver.
abraços
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phfrito
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por e8group » Qui Mai 08, 2014 02:36
Dica para calcular limites de funções racionais (razão de polinômios )
Queremos computar limites de funções racionais :

.
Primeiramente , certifique-se

é raiz de
e 
.Isto é , se

.
Se isto acima
não ocorrer , não teremos indeterminação (0/0) e assim o calculo do limite segue diretamente pela regra do quociente . Possa ser que este limite seja finito ou não .
Agora suponha que a situação descrita acima ocorra .
Neste caso, podemos reescrever cada polinômio como expressões da forma

( onde

é um polinômio ) que por conseguinte os fatores em comum se cancelam no calculo do limite . Após esta etapa , caímos novamente no problema de computar limites de funções racionais . E novamente fazemos a mesma verificação .
Para reescrever um dos polinômios como

em geral dividimos ele por

. Porém não é a único modo embora mais comum .
É possível fatorar

sem o método da divisão também , bem como você quiser .

.
E

.
Os termos entre parêntesis avaliados em x = 2 são diferentes de zero (mas soma deles zero , certo ?) .
A saber ,

e

.
Soma-se então

em

e

em

, desta forma ambas parcelas zeraram em x = 2 e terão o mesmo fator x-2 em comum que poderemos deixá-ló em evidência . Além disso , a igualdade permanece

.
E também (fazendo manipulações análogas com o mesmo objetivo )
![(x^3 + 3 x^2 - 20) = (x^2[x +3 ] - 20) = (x^2[x -2 + 5 ] -20) = (x^2[x-2] + 5x^2 -20) = (x^2[x-2] + 5[x^2 -4]) (x^3 + 3 x^2 - 20) = (x^2[x +3 ] - 20) = (x^2[x -2 + 5 ] -20) = (x^2[x-2] + 5x^2 -20) = (x^2[x-2] + 5[x^2 -4])](/latexrender/pictures/e3db09578dadd391734846378f72ccb7.png)
.
Porém sabemos que

. E com isso
![(x^2[x-2] + 5[x^2 -4]) = (x^2[x-2] + 5[x-2][x+2]) = [x-2](x^2 +5x +10) (x^2[x-2] + 5[x^2 -4]) = (x^2[x-2] + 5[x-2][x+2]) = [x-2](x^2 +5x +10)](/latexrender/pictures/8741eed1efa158b7d68e77e1d8ce4737.png)
.
Juntando os resultados
 -12[x -2] = [x-2](x^2 +5x + 34) (x^3 + 3 x^2 - 20 ) -12(x -2) = [x-2](x^2 +5x +10) -12[x -2] = [x-2](x^2 +5x + 34)](/latexrender/pictures/99cbbef47d32eeccfb18b0fbf31bc23a.png)
e
Quanto o denominador mais simples .
Logo
}{x(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2 +5x + 34}{x(x+2)} \lim_{x\to 2} \frac{p(x)}{q(x)} = \lim_{x\to 2} \frac{[x-2](x^2 +5x + 34)}{x(x-2)(x+2)} = \lim_{x\to 2} \frac{x^2 +5x + 34}{x(x+2)}](/latexrender/pictures/24cad79f1bc009d988ae1eb0e9ff2681.png)
(pois x tende a 2 , x não é igual a 2) .
Vale ressaltar que nem sempre é simples reescrever polinômios em sua forma fatorada sem a divisão do mesmo por

.Portanto , o método é mais recomendado .
Uma formula útil :
Divida

por

para obter uma fórmula que escrita na forma compacta de soma (ajuda a memorização da mesma ) é

.
Aceitando que a formula é verdadeira ,temos

.
Em consequência , temos outra forma de fatorar p ,
Agora

.
É fácil calcular as raízes eq. segundo grau , uma já sabemos q é

e a outra podemos ver que também é 2 , multiplicidade 2 , pois

que é o desenvolvimento de

. Logo ,
Juntamos o que temos

.
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por e8group » Qui Mai 08, 2014 16:34
Uma generalização que pode ser útil (divisão de polinômios por termos lineares) . Objetivo é obter uma fórmula para reduzir os cálculos , fórmula esta como como

que de fácil memorização .Com isso ganhamos praticidade na fatoração de expressões como

e etc . A motivação é o polinômio de grau

incompleto , o coeficiente

e os demais

. Isto é ,

.
Escreva

com

.
Também podemos escrever

.Porém sabemos que ,

.
Para simplificar as notações , definamos o polinômio

.
Desta forma temos

.
Agora dado um polinômio qualquer de grau n que se exprimir por

que devido a fórmula destacada ,

ou ainda

.
A primeira expressão entre parêntesis (resto da divisão de p por (x-a) ) é o

avaliado no ponto

, isto nos permite escrever

onde

.
Interessante é quando

é raiz de

. Isto nos fornece uma formula prática para fatorar polinômios , quando sabemos uma de suas raízes (especialmente polinômios de grau maior que 2) .
Em particular se

, verificamos que
Agora
Logo
É claro que está fórmula é apenas útil quando conhecemos uma raiz de um polinômio de grau maior ou igual a de 3 .
Mas em geral , se q é qualquer polinômio , o raciocínio pode ser assim , seja

com

.Defina também ,

com

.
Agora

com

. Dividindo todos os termos por

( a princípio suponha

)

com isso concluímos que

. (

por hipótese ) .
A fórmula também é verdadeira para

pois

.
Assim , podemos substituir todos os termos

com

pela fórmula correspondente ,
![p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k + \sum_{k=m}^n \left(q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} \right) \iff
[tex] p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k -\sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} \cdot (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot x^{k-s} \right) + q(x) \sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k + \sum_{k=m}^n \left(q(x) \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} - (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot \frac{a_k}{b_s} x^{k-s} \right) \iff
[tex] p(x) = \sum_{k=0}^{m-1} a_k x^k -\sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} \cdot (q(x) - b_s \cdot x^s)\cdot x^{k-s} \right) + q(x) \sum_{k=m}^n \frac{a_k}{b_s} x^{k-s}](/latexrender/pictures/3f694f2b5b9ae0fb5ca8a027d7bfb752.png)
.
O mais importante é entender como os

foram obtidos .
Exemplificar :
Seja

e

.
Dá fórmula
Somando os resultados o ou equivale temente
![\sum_{i=1}^3 a_i x^i = (x+2)[1 +x + x^2] - 2 - 2x^2 - 2x^2 = (x+2)[1 +x + x^2]+ -2 -4x^2 \sum_{i=1}^3 a_i x^i = (x+2)[1 +x + x^2] - 2 - 2x^2 - 2x^2 = (x+2)[1 +x + x^2]+ -2 -4x^2](/latexrender/pictures/a2964147cb55072d3ea6e067e1c75d2d.png)
.
Quando dividimos p por

todos termos

são também dividido. A ideia é escrever cada termo como

e foi isso que fizemos .
Faça uma analogia entre entre razão entre número inteiros .
Dizer que

dividido por

deixar resto

implica que

.
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silvia fillet - Qui Out 13, 2011 22:46
Divida o numero 35 em partes diretamente proporcionais a 4, 10 e 14. Em seguida divida o mesmo numero em partes proporcionais a 6, 15 e 21. explique por que os resultados sao iguais.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
silvia fillet - Sáb Out 15, 2011 10:25
POR GENTILEZA PODEM VERIFICAR SE O MEU RACIOCINIO ESTÁ CERTO?
P1 = K.4 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P1= 5
P2 = K.10 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P2= 12,50
P3 = K.13 SUBSTITUINDO K POR 1,25 P3= 17,50
P1+P2+P3 = 35
K.4+K.10+K.13 = 35
28 K = 35
K= 1,25
P1 = K.6 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P1= 5
P2 = K.15 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P2 = 12,50
P3 = K.21 SUBSTITUINDO K POR 0,835 P3 = 17,50
K.6+K.15+K.21 = 35
42K = 35
K= 0,833
4/6 =10/15 =14/21 RAZÃO = 2/3
SERÁ QUE ESTÁ CERTO?
ALGUEM PODE ME AJUDAR A EXPLICAR MELHOR?
OBRIGADA
SILVIA
Assunto:
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Autor:
ivanfx - Dom Out 16, 2011 00:37
utilize a definição e não se baseie no exercícios resolvidos da redefor, assim você terá mais clareza, mas acredito que sua conclusão esteja correto, pois o motivo de darem o mesmo resultado é pq a razão é a mesma.
Assunto:
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Autor:
Marcos Roberto - Dom Out 16, 2011 18:24
Silvia:
Acho que o resultado é o mesmo pq as razões dos coeficientes e as razões entre os números são inversamente proporcionais.
Você conseguiu achar o dia em que caiu 15 de novembro de 1889?
Assunto:
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Autor:
deiasp - Dom Out 16, 2011 23:45
Ola pessoal
Tb. estou no redefor
O dia da semana em 15 de novembro de 1889, acredito que foi em uma sexta feira
Assunto:
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Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 06:23
Bom dia,
Realmente foi uma sexta feira, como fazer os calculos para chegar ?
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 07:18
Para encontrar o dia que caiu 15 de novembro de 1889 você deve em primeiro lugar encontrar a quantidade de anos bissextos que houve entre 1889 à 2011, após isso dá uma verificada no ano 1900, ele não é bissexto, pois a regra diz que ano que é múltiplo de 100 e não é múltiplo de 400 não é bissexto.
Depois calcule quantos dias dão de 1889 até 2011, basta pegar a quantidade de anos e multiplicar por 365 + 1 dia a cada ano bissexto (esse resultado você calculou quando encontrou a quantidade de anos bissextos)
Pegue o resultado e divida por 7 e vai obter o resto.
obtendo o resto e partindo da data que pegou como referência conte a quantidade do resto para trás da semana.
Assunto:
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Autor:
silvia fillet - Seg Out 17, 2011 07:40
Bom dia,
Será que é assim:
2011 a 1889 são 121 anos sendo , 30 anos bissextos e 91 anos normais então temos:
30x366 = 10.980 dias
91x365 = 33.215 dias
incluindo 15/11/1889 - 31/12/1889 47 dias
33215+10980+47 = 44242 dias
44242:7 = 6320 + resto 2
è assim, nâo sei mais sair disso.
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
ivanfx - Seg Out 17, 2011 10:24
que tal descontar 1 dia do seu resultado, pois 1900 não é bissexto, ai seria 44241 e quando fizer a divisão o resto será 1
como etá pegando base 1/01/2011, se reparar bem 01/01/2011 sempre cai no mesmo dia que 15/01/2011, sendo assim se 01/01/2011 caiu em um sábado volte 1 dia para trás, ou seja, você está no sábado e voltando 1 dia voltará para sexta.então 15/11/1889 cairá em uma sexta
Assunto:
Proporcionalidade
Autor:
Kiwamen2903 - Seg Out 17, 2011 19:43
Boa noite, sou novo por aqui, espero poder aprender e ajudar quando possível! A minha resposta ficou assim:
De 1889 até 2001 temos 29 anos bissextos a começar por 1892 (primeiro múltiplo de 4 após 1889) e terminar por 2008 (último múltiplo de 4 antes de 2011). Vale lembrar que o ano 1900 não é bissexto, uma vez que é múltiplo de 100 mas não é múltiplo de 400.
De um ano normal para outro, se considerarmos a mesma data, eles caem em dias consecutivos da semana. Por exemplo 01/01/2011 – sábado, e 01/01/2010 – sexta.
De um ano bissexto para outro, se considerarmos a mesma data, um cai dois dias da semana depois do outro. Por exemplo 01/01/2008 (ano bissexto) – Terça – feira, e 01/01/09 – Quinta-feira.
Sendo assim, se contarmos um dia da semana de diferença para cada um dos 01/01 dos 122 anos que separam 1889 e 2011 mais os 29 dias a mais referentes aos anos bissextos entre 1889 e 2011, concluímos que são 151 dias da semana de diferença, o que na realidade nos trás: 151:7= 21x7+4, isto é, são 4 dias da semana de diferença. Logo, como 15/11/2011 cairá em uma terça-feira, 15/11/1889 caiu em uma sexta-feira.
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