Limites com Raízes Cúbicas

por **nathilopes** » Qua Mar 05, 2014 02:23

Passei o dia inteiro tentando solucionar mas caio sempre em expreções gigantescas que não consigo resolver

lim x->1 $\sqrt[3]{3x+5}-2/{x}^{2}-1$

preciso solucionar isto até sábado.

Alguém me ajuda ou vou acabar trancando essa matéria.
Obrigada!!!

por **Man Utd** » Qua Mar 05, 2014 15:11

nathilopes escreveu:Passei o dia inteiro tentando solucionar mas caio sempre em expreções gigantescas que não consigo resolver

lim x->1 $\sqrt[3]{3x+5}-2/{x}^{2}-1$

preciso solucionar isto até sábado.

Alguém me ajuda ou vou acabar trancando essa matéria.
Obrigada!!!

$\lim_{x \to 1} \; \frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{{x}^{2}-1}$

$\lim_{x \to 1} \; \frac{\sqrt[3]{3x+5}-2}{(x-1)*(x+1)}$

agora faça a substituição: $u=3x+5 \;\; \Leftrightarrow \;\;\; x= \frac{u-5}{3} \;\;\;\; , \;\; x \to 1 \;\;\; , \;\; u \to 8$

$\lim_{u \to 8} \; \frac{\sqrt[3]{u}-2}{\left(\frac{u-5}{3}-1\right)*\left(\frac{u-5}{3}+1\right)}$

$\lim_{u \to 8} \; \frac{\sqrt[3]{u}-2}{\left(\frac{u-8}{3} \right)*\left(\frac{u-2}{3} \right)}$

$\lim_{u \to 8} \; \frac{\sqrt[3]{u}-2}{\frac{u-8}{3}} \;\; \times \;\; \lim_{u \to 8}\; \frac{1}{\frac{u-2}{3}}$

$3*\lim_{u \to 8} \; \frac{\sqrt[3]{u}-2}{u-8} \;\; \times \;\; 3*\lim_{u \to 8}\; \frac{1}{u-2}$

$3*\lim_{u \to 8} \; \frac{\sqrt[3]{u}-2}{u-8} \;\; \times \;\; \frac{1}{2}$

lembre-se da fatoração : $a^{3}-b^{3}=(a-b)*(a^{2}+a*b+b^{2})$ , então:

$3*\lim_{u \to 8} \; \frac{\sqrt[3]{u}-2}{(\sqrt[3]{u}-2)*(\sqrt[3]{u^{2}}+2\sqrt[3]{u}+4)} \;\; \times \;\; \frac{1}{2}$

$3*\lim_{u \to 8} \; \frac{1}{\sqrt[3]{u^{2}}+2\sqrt[3]{u}+4} \;\; \times \;\; \frac{1}{2}$

$3*\left( \frac{1}{\sqrt[3]{8^{2}}+2\sqrt[3]{8}+4\right)} \;\; \times \;\; \frac{1}{2}$

$\boxed{\boxed{\boxed{\frac{1}{8}}}}$