[Limites]Prova de limites

por **IlgssonBraga** » Sáb Fev 08, 2014 17:32

Bem pessoal, eu queria saber se para provar que o limite de uma função é um determinado L pela definição formal eu posso provar separadamente cada parte dessa função usando as propriedades operatórias de um limite (devidamente comprovadas).

Exemplo: Prove que $\lim_{x\rightarrow3}x^2=9$ .

Aí eu poderia fazer (nesse caso aqui assumindo como verdadeira a operação de multiplicação de limites)

$(\lim_{x\rightarrow3}x)(\lim_{x\rightarrow3}x)=9$

Como,
$(\lim_{x\rightarrow3}x)=(\lim_{x\rightarrow3}x)$

Intuitivamente temos:

$(\lim_{x\rightarrow3}x)=3$

Agora provar isso:

Para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta>0$ tal que

$0<|x-3|<\delta\Rightarrow|f(x)-3|<\epsilon$

Fazendo nesse caso $\delta=\epsilon$ temos que é verdadeiro que $(\lim_{x\rightarrow3}x)=3$

Agora substituindo lá em cima:

$(\lim_{x\rightarrow3}x)(\lim_{x\rightarrow3}x)=9$

3.3=9
9=9 (C.Q.D)

Fica demonstrado, só não sei se é um jeito correto. Alguém pode me dizer se pode ser feito assim ?

por **e8group** » Sáb Fev 08, 2014 19:51

Na minha opinião, o que fez foi provar que o limite da função identidade existe .Mas isto não prova que o limite da função (definida por x^2

) existe .

Comentário :

Considere $f = g \cdot h : \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}$ e suponha que demonstramos que os limites $\lim_{x\to a} g(x) = L$ e $\lim_{x\to a} h(x) = P$ existem, ou seja , mostramos que $\forall \epsilon_1 , \epsilon_2 > 0 , \exists \delta(\epsilon_1) , \delta(\epsilon_2) > 0 : 0<|x-a|< \delta(\epsilon_1) \implies |g(x)-L| < \epsilon_1$

e $0<|x-a|< \delta(\epsilon_2) \implies |h(x)-P| < \epsilon_2$ .

Agora ,imaginemos que queremos demonstrar $\lim_{x\to a} f(x) = L \cdot P$ .Isto é, queremos mostrar que dado $\epsilon > 0$ existe $\delta(\epsilon) > 0$ tal que se

$0<|x-a| < \delta(\epsilon)$ então $|f(x) - LP| < \epsilon$ .

A ideia é mostrar que existe $\epsilon > 0$ (e este número pode ter alguma relação com os $\epsilon_1$ e $\epsilon_2$ ) e em seguida obter $\delta > 0$ correspondente .

Mas se tomarmos $\epsilon = \epsilon_1$ ou $\epsilon_2$ ,não necessariamente garantimos que o limite de

é

quando

tende a

.

Vamos ao caso em que f(x) =x^2

.

Para

. Tomando-se $\epsilon = 0,02$ , obtemos $\delta = \epsilon > 0$ tal que

$0.01 = |x - 3 | < \delta$ . Mas por outro lado ,

$|x^2 -9| = 0.0601 > \epsilon$ .

Neste link http://math.berkeley.edu/~drizzolo/Math ... proofs.pdf há uma demostração .

Este exemplo me despertou curiosidade e tentar demonstrar $\lim_{x\to a} x^n = a^n$ (n natural)

por **IlgssonBraga** » Qua Fev 12, 2014 14:53

Não sei se foi isso que vc quis mostrar, mas eu estava assumindo como verdadeira a propriedade da multiplicação, ou seja, eu iria demonstrá-la para depois usá-la. Feito isso queria saber se o que eu fiz procede. Se eu entendi errado me desculpe!

por **e8group** » Qua Fev 12, 2014 21:08

Sim , compreendo que fez hipótese da multiplicação . Estou percebendo que provar a regra operatória "limite do produto é produto dos limites" via definição rigorosa de limite é um pouco complicado. Pesquisando em inglês "How can I prove the product rule of limits? " encontrei o site abaixo http://planetmath.org/proofoflimitruleofproduct que apresenta uma demonstração . Acho que devemos sim utilizar as proposições , regras operatórias a favor de facilitar a demonstração ,há casos realmente medonho de encontra o epsilon's e os delta's correspondentes.Mas no meu ponto de vista este não é o caso .Quando estamos trabalhando com funções f_n

definida pelo monômio $x^n ; n \in \mathbb{N}$ , podemos provar $\lim_{x\to a} f_n(x) = a^n$ , sem a regra operatória já mencionada.Pq não tentar ? O que acha ?

por **IlgssonBraga** » Qua Fev 12, 2014 22:48

Blz, então me responde só mais essa. Vi isso em algum lugar.

Prove que $\lim_{x\rightarrow3}x^2=9$ .

Solução:

Para todo $\epsilon>0$ existe um $\delta>0$ tal que:

$0<|x-3|<\delta\Rightarrow|x^2-9|<\epsilon$

E como |x^2-9|=|x+3||x-3|

$0<|x-3|<\delta\Rightarrow|x-3|<\frac{\epsilon}{|x+3|}$

Daí como |x+3|>0 então $\delta=\frac{\epsilon}{|x+3|}$

Para esse $\epsilon$ >0 existe um $\delta>0$ portanto o limite existe

Desse jeito pode ser ?

por **e8group** » Qui Fev 13, 2014 19:45

Na minha opinião está certo , e assim o delta dependerá de $\epsilon > 0$ (dado) e

. Agora só para complementar... como estamos trabalhando com

próximo de

, pondo $|x+3| \leq V$ e escolhendo $\delta = \epsilon/V$ ,teremos |x^2 - 9| = |x-3||x+3| < |x-3| V

.Daí, se $0<|x-3| < \delta$ então $|x^2 - 9| < \epsilon$ .

Agora q vou postar adiante é de leitura opcional .

E quando f(x) = x^n

p/ algum

natural . Como provar que $\lim_{x\to a} f(x) = a^n$ para qq . a real ?? Está tentei fazer , e observei q dado $\epsilon > 0$ e tomando-se $\delta :=min \{ 1, \frac{\epsilon}{\sum_{k=0}^{n-1} |a|^k(|a|+1|)^{n-1-k} }\}$ , então se $|x-a| < \delta$ logo $|x^n - a^n | < \epsilon$ .Quando fazermos n = 2

e

o delta será igual ao menor valor do conjunto $\{1,\epsilon/7 \}$ .

Do caso geral ao particular , veja a solução proposta do primeiro link que postei

http://math.berkeley.edu/~drizzolo/Math ... proofs.pdf ,

conforme o link acima podemos ver que o delta é o menor valor entre 1 e epsilon dividido por 7 , ou seja , a mesma escolha do delta do caso geral com n= 2 e a = 3 .