Quadrado da raiz quadrada

por **thadeu** » Qua Nov 25, 2009 16:56

Rodrigo, eu só gostaria de saber em qual livro você leu isso?

por **Rodriguinho** » Qua Nov 25, 2009 17:42

Eu li em algum livro, há muitos anos atrás, quando decidi me interessar em entender essas propriedades a fundo. Só não me lembro qual. Mas não precisa estar em livro nenhum pra ser dado como certo. Você mesmo pode escrever algo que não está em livro nenhum, mas se estiver certo, está certo e ponto final. Basta usar o raciocínio.

Me parece que você concorda com o fato de que, supondo que

é um número real positivo, $\sqrt{-a}=i\cdot\sqrt{a}$ , não é? Muito bem, isso é verdade mesmo, e isso deve ser bem fácil de comprovar em livros, se você quiser.

Então, já que isso é verdade, se fizermos

e

números reais positivos, as oito identidades a seguir são todas verdadeiras:

1) $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$
2) $\sqrt{-a}\cdot\sqrt{b}=i\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=i\sqrt{ab}$
3) $\sqrt{a}\cdot\sqrt{-b}=\sqrt{a}\cdot i\cdot\sqrt{b}=i\sqrt{ab}$
4) $\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-b}=i\cdot\sqrt{a}\cdot i\cdot\sqrt{b}=(i)^2\cdot\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=(-1)\cdot\sqrt{ab}=-\sqrt{ab}$

5) $\sqrt{(a)\cdot (b)} = \sqrt{ab}$
6) $\sqrt{(-a)\cdot (b)} = \sqrt{-ab} = i\sqrt{ab}$
7) $\sqrt{(a)\cdot (-b)} = \sqrt{-ab} = i\sqrt{ab}$
8) $\sqrt{(-a)\cdot (-b)} = \sqrt{ab}$

Pode conferir uma por uma, tá tudo certinho. Você está vendo que as expressões (1) e (5) são iguais, as expressões (2) e (6) são iguais, as expressões (3) e (7) são iguais, mas as expressões (4) e (8) NÃO são iguais.

Só pra não perder o foco: com isso, estou mostrando que a propriedade $\sqrt{ab}=\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ não vale quando a<0

e

simultaneamente. Por consequência, $\sqrt{-5}\cdot\sqrt{-5}=-5$ .

Acho que agora você deve ter se convencido. :y:

por **Rodriguinho** » Sex Nov 27, 2009 19:13

Bom, pra que este tópico não perca o foco, reuni as dúvidas iniciais deixadas pelo liam gallager, no primeiro post desse tópico:

liam gallagher escreveu:A questão é: porque $(\sqrt{a})^2=a$ ?

Porque a raiz de um número real, quando elevada ao quadrado, sempre retorna o mesmo número, seja ele positivo ou negativo. Veja:
Supondo

real positivo, temos que $\sqrt{-a}=i\cdot\sqrt{a}$ , onde

é a unidade imaginária, e assim:
$(\sqrt{a})^2=\sqrt{a}\cdot\sqrt{a}=a$
e:
$(\sqrt{-a})^2=(i\cdot\sqrt{a})^2=(i\cdot\sqrt{a})\cdot(i\cdot\sqrt{a})=(i)^2\cdot(\sqrt{a})^2=(-1)\cdot(a)=-a$

liam gallagher escreveu:Porque não posso usar a propriedade aqui e fazer $\sqrt{-5}*\sqrt{-5}= \sqrt{(-5)*(-5)}=\sqrt{25}=5$ ?

Porque, embora pouca gente saiba, essa propriedade não pode ser aplicada sempre; ela tem uma restrição. Ela não vale quando o radicando é negativo. Veja:
Supondo

real positivo, temos que:
$\sqrt{-a}\cdot\sqrt{-a}=i\cdot\sqrt{a}\cdot i\cdot\sqrt{a}=(i)^2\cdot(\sqrt{a})^2=(-1)\cdot(a)=-a$
e:
$\sqrt{(-a)\cdot(-a)}=\sqrt{a^2}=a$

liam gallagher escreveu:Ou mesmo, porque não usar outra propriedade, $\sqrt{a}=a^{1/2}$
De forma que $(\sqrt{a})^2=a^{(1/2)*2}=a^{2*(1/2)}=\sqrt{a^2}=|a|$ ?