Resolver limite de exponencial por L'Hospital.

por **Sobreira** » Sáb Nov 30, 2013 15:00

Olá amigos,

Estou tentando resolver este limite por L'Hospital mas nunca consigo eliminar a indeterminação...alguma idéia ???

$\lim_{b\rightarrow\infty} \frac{{e}^{b}}{{e}^{sb}}$

Se eu derivar seguidas vezes ainda não consigo eliminar a indeterminação $\frac{\infty}{\infty}$

por **e8group** » Sáb Nov 30, 2013 15:27

Lembre-se $\frac{d^k}{dx^k}(e^x) = e^x$ e que $\frac{d^k}{dx^k} e^{\lambda \cdot x } = \lambda^k \cdot e^{\lambda x}$ para qualquer natural

. Além disso note que

$\frac{e^b}{e^{sb}} = e^{b-sb} = e^{b(1-s)} = (e^{1-s})^b$ .Tem alguma informação sobre o número

? Se ele for menor que

segue que $e^{1-s} > 1$ ,caso contrário teremos $0 < e^{1-s} < 1$ . Para concluir basta responder o que acontece com a função exponencial de base positiva e menor que 1 e com a de base maior que 1 lá no infinito .

por **Sobreira** » Sáb Nov 30, 2013 15:52

Na realidade estou tentando encontrar a transformada de Laplace através da definição:

A função é f(t)= ${e}^{t+7}$

Como posso resolver ???

$\int_{0}^{\infty}{e}^{-st}f\left(t \right)dt$

Depois de resolver a integral, quando considerei s>0 acabei caindo neste problema que ainda não consegui resolver. Se puder me ajudar, agradeço !!

por **Sobreira** » Sáb Nov 30, 2013 16:42

Veja o que consegui até agora:

por **e8group** » Sáb Nov 30, 2013 16:43

Ainda não estudei Transformada de Laplace ,parece que isto é uma aplicação que leva uma função a outra (me corrija se eu estou errado ) . Posso tentar te ajudar com a integral imprópria . Sendo f(t) = e^t + 7

. Temos que

$\int_{0}^{\infty } e^{-st} (e^t+7) dt = \int_{0}^{\infty } (e^{-st +t} + 7e^{-st}) dt = \int_{0}^{\infty } e^{(1-s)t}dt + 7 \int_{0}^{\infty }e^{-st} dt$ .

Agora faça as substituições simples u = (1-s )t

e

[/tex] as derivadas nos dá respectivamente ,

du = (1-s)dt

e

assuma a princípio que $s \neq 1$ trataremos deste caso depois .Neste caso , teremos $dt = \frac{du}{1-s}$ e $dt = \frac{dv}{-s}$ já que você considerou s > 0

(ou seja , $s \neq 0$ )

Vamos ter que considerar primeiro 0<s < 1

e segundo

.
No primeiro caso temos que 1-s > 0

e

e assim quando $t \to \infty$ ,
$u \to \infty$ e $v \to -\infty$ , quando t = 0

teremos também u=v = 0

,renovando os limites de integração , a nova integral se escreve

$\int_{0}^{\infty} e^u \frac{du}{1-s} + \int_0^{-\infty} e^v {dv}{-s}$ ou ainda

$\frac{1}{1-s} \int_0^{\infty} e^u du - \frac{1}{s} \int_0^{-\infty} e^v dv (*)$ .

Calculando estas integrais obterá uma função da F_1

real a qual depende da variável

que pertence (0,1)

. (Isto se a integral convergir )

No segundo caso s > 1

,então

e

e assim , quando $t \to \infty$ teremos que $u \to -\infty$ e $v\to -\infty$ e como já vimos acima quando t =0 , v=u= 0 . Podemos usar a mesma expressão (*) apenas trocando os limites de integração e teremos outra função F_2

real dependendo da variável

a qual pertence $(1,+\infty)$ , dada por

$\frac{1}{1-s} \int_0^{-\infty} e^u du - \frac{1}{s} \int_0^{-\infty} e^v dv$ .

Portanto basta fazer estas contas são bem simples .

E finalmente se s = 1

.

Teremos $\int_{0}^{\infty } e^{-t} (e^t+7) dt = \int_{0}^{\infty } (1 + 7e^{-t}) dt$ e esta integral não converge .

No final obterá uma função $F : (0,1)\cup(1,+\infty) \mapsto \mathbb{R}$ dada por $F(s) = \begin{cases}F_1(s) ; 1>s >0 \\ F_2(s) ; s > 1 \end{cases}$ .

por **Sobreira** » Sáb Nov 30, 2013 16:59

Acho só que você viu errado a função:

A função é $f\left(t \right)={e}^{-st+t+7}$

E não:

$f\left(t \right)={e}^{-st+t}+7$

por **e8group** » Sáb Nov 30, 2013 16:59

Agora que vi $f(t) = e^{t+7}$ e não como eu tinha considerado . Neste caso é até mais fácil . Basta ver que $e^{t+7} = e^7 \cdot e^t$ e portanto o integrando se escreve $f(t)e^{-st} = e^7 e^t e^{-st} = e^7 \cdot e^{(1-s)t}$ .

Basta desconsiderar aquela integral multiplicada por

no post acima , e considerar a outra multiplicado por e ^7

.

Assim terá de calcular :

$e^7 \frac{1}{1-s} \int_0^{\infty} e^u du$ , 1 >s >0

e

$e^7 \frac{1}{1-s} \int_0^{-\infty} e^u du$ , s >1

.

por **e8group** » Sáb Nov 30, 2013 17:01

Talvez ficou um pouco confuso . Se você não compreender só dizer .

por **Sobreira** » Sáb Nov 30, 2013 17:21

Então...
Eu realmente tenho ficado confuso naquela parte do asterisco...pq não eh somente neste exercício....já houve alguns outros que o problema ficava naquele termo do asterisco por não conseguir eliminar a indeterminação e vejo que a resposta está logo ali do outro lado esperando o resultado deste asterisco ser zero.
Até então os exercícios que eu fiz era considerado só duas condições: s>0 ou s<0.
Agora tentando entender melhor este exercício, mandei inclusive a foto, eu consegui sair deste problema utilizando aquelas condições acima e vi que só chegaria na resposta na condição de s>1. Como você disse você ainda não viu o conteúdo de Laplace, mas sua ideia está correta.
Agora pensando somente como uma integral imprópria, pelo que resolvi você considera correta minha preposição de que s tem que ser maior que 1 ???

por **e8group** » Sáb Nov 30, 2013 17:37

Sim concordo com você ,

será maior que 1 . Por quê a integral $\int_0^{\infty} e^u du$ não converge (1>s>0) , já a outra $\int_0^{-\infty} e^u du$ (s>1) converge . Você mesmo notou isto na sua solução pelo que vi . É isso .