[Calculo de volumes] Dedução volume do cone

por **ronaldo9nine** » Qua Nov 20, 2013 10:31

Olá, gostaria de saber como é feita a dedução da formula do volume do cone por meio de revolução( por integral)

abs.

por **e8group** » Qua Nov 20, 2013 20:06

Há uma demonstração aqui http://en.wikipedia.org/wiki/Cone . Também é possível por soma de Riemann ,veja

Considere o seguimento de reta $y = \frac{r}{h} \cdot x , x \in [0,h]$ (r,h > 0) . Girando este segmento em torno do eixo x iremos obter o cone circular de raio

e altura

.Dividindo

em n partes iguais e denotando $\Deta x = x_{i} - x_{i-1} = h/n, i= 1 , ... , n$ onde

x_0 = 0 < x_1 = h/n < x_2 = 2h/n < ....< x_n = h

.

No intervalo $I_{i}= [x_{i-1},x_i] ,n$ , a interseção do plano x= x_i

com o cone será um circulo cuja área é constante e é igual a $A_i = \pi (r/h x_i)^2 = \pi \frac{r^2}{h^2} x_i^2$ . Assim o volume de cada fatia é

$A_i \cdot \Delta x = \pi \frac{r^2}{h^2} x_i^2 \cdot \Delta x$ e portanto o volume do cone pode ser aproximado por

$\sum_{i=1}^n \pi \frac{r^2}{h^2} x_i^2 \cdot \Delta x$ . Passando ao limite com $n \to + \infty$ , obtemos a fórmula

$\pi \frac{r^2}{h^2} \int_{0}^{h} x^2 dx$ .

$\Delta x$ vira "dx" , $\sum$ vira $\int$ .