[Geometria Espacial Polinômios] UESB 2011.2

[Leocondeuba]

Olá a todos. Estou com dificuldade nesta questão pois só encontro raízes que somando não resultam nos resultados das alternativas. Desde já agradeço a todos que tentarem me ajudar.



Na figura ao lado, as medidas a, b, c são, respectivamente, iguais ao polinômios 3x² + 5, 2x³ - 2x, e x² + 1.
Se P(x) é o polinômio que representa a área total do sólido representado na figura, então a soma dos inversos das raízes de P(x) é igual a:

01)12/5 02) 8/5 03)4/5 04)-8/5 05)-6/5

[DanielFerreira]

Olá!!

A área da figura em questão é dada por 2(ab + ac + bc). Então, P(x) = 2[(3x² + 5)(2x³ - 2x) + (2x³ - 2x)(x² + 1) + (3x² + 5)(x² + 1)].

Desenvolvendo chegamos a P(x) = 16x^5 + 6x^4 + 8x³ + 16x² - 24x + 10.

O problema pede a soma dos inversos das raízes de P(x). Ora, se considerarmos as raízes como sendo x_1, x_2, x_3, x_4 e x_5, teremos:

1/x_1 + 1/x_2 + 1/x_3 + 1/x_4 + 1/x_5 =

(x_2 . x_3 . x_4 . x_5 + x_1 . x_3 . x_4 . x_5 + x_1 . x_2 . x_4 . x_5 + x_1 . x_2 . x_3 . x_4)/(x_1 . x_2 . x_3 . x_4 . x_5) =

Das Relações de Girard, tiramos que: se P(x) = Ax^5 + Bx^4 + Cx³ + Dx² + Ex + F, então:

- a soma dos produtos das raízes tomados quatro a quatro é dada por (+ E)/A;

- o produto das raízes é dado por (- F)/A.

Isto posto, temos que:

E/A : (- F)/A =

E/A . A/(- F) =

E/(- F) =

(- 24)/(- 10) =

24/10 =

12/5

Espero ter ajudado!