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Integral de 6/sqrt(1-x^2) no intervalo [1/2 , sqrt(3)/2]

Integral de 6/sqrt(1-x^2) no intervalo [1/2 , sqrt(3)/2]

Mensagempor Costa43 » Sex Nov 01, 2013 17:29

Integral de 6/sqrt(1-x^2) no intervalo [1/2 , sqrt(3)/2]


Queria resolucao , já que não consigo entender o porq do resultado ser pi.

RESPOSTA :pi
Costa43
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Re: Integral de 6/sqrt(1-x^2) no intervalo [1/2 , sqrt(3)/2

Mensagempor e8group » Sex Nov 01, 2013 23:30

Note que pela identidade trigonométrica fundamental sin^2 \gamma + cos^2\gamma = 1 , \forall \gamma .Se tomarmos então x = sin^2\gamma ,teremos que

\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1 - sin^2\gamma} = \sqrt{ cos^2 \gamma} = | cos\gamma | já que cos(\gamma) assume valores negativos quanto positivos .Mas , para x em [1/2,\sqrt{3}/2] tem-se sempre cos\gamma > 0 , pois :


(1)
sin(30^{\circ}) = cos(60^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}  \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} = sin(60^{\circ})= cos(30^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{6}) .

(2) A função cosseno é contínua em [1/2,\sqrt{3}/2] .

Então :

\sqrt{1-x^2} = cos\gamma .Como x = sin\gamma \implies dx = cos \gamma d\gamma ,segue

6 \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} 1/\sqrt{1-x^2} dx = 6 \int_{\pi/6}^{\pi/3} d\gamma = 6 \gamma\big|_{\pi/6}^{\pi/3} =  6 \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = \pi .

Comente as dúvidas .
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Re: Integral de 6/sqrt(1-x^2) no intervalo [1/2 , sqrt(3)/2

Mensagempor Costa43 » Dom Nov 03, 2013 13:12

santhiago escreveu:Note que pela identidade trigonométrica fundamental sin^2 \gamma + cos^2\gamma = 1 , \forall \gamma .Se tomarmos então x = sin^2\gamma ,teremos que

\sqrt{1-x^2} = \sqrt{1 - sin^2\gamma} = \sqrt{ cos^2 \gamma} = | cos\gamma | já que cos(\gamma) assume valores negativos quanto positivos .Mas , para x em [1/2,\sqrt{3}/2] tem-se sempre cos\gamma > 0 , pois :


(1)
sin(30^{\circ}) = cos(60^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}  \leq x \leq \frac{\sqrt{3}}{2} = sin(60^{\circ})= cos(30^{\circ}) = cos(\frac{\pi}{6}) .

(2) A função cosseno é contínua em [1/2,\sqrt{3}/2] .

Então :

\sqrt{1-x^2} = cos\gamma .Como x = sin\gamma \implies dx = cos \gamma d\gamma ,segue

6 \int_{1/2}^{\sqrt{3}/2} 1/\sqrt{1-x^2} dx = 6 \int_{\pi/6}^{\pi/3} d\gamma = 6 \gamma\big|_{\pi/6}^{\pi/3} =  6 \pi (\frac{1}{3} - \frac{1}{6}) = \pi .

Comente as dúvidas .


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Assunto: cálculo de limites
Autor: Hansegon - Seg Ago 25, 2008 11:29

Bom dia.

Preciso de ajuda na solução deste problema, pois só chego ao resultado de 0 sobre 0.
Obrigado

\lim_{x\rightarrow-1} x³ +1/x²-1[/tex]


Assunto: cálculo de limites
Autor: Molina - Seg Ago 25, 2008 13:25

\lim_{x\rightarrow-1} \frac{{x}^{3}+1}{{x}^{2}-1}

Realmente se você jogar o -1 na equação dá 0 sobre 0.
Indeterminações deste tipo você pode resolver por L'Hôpital
que utiliza derivada.
Outro modo é transformar o numerador e/ou denominador
para que não continue dando indeterminado.

Dica: dividir o numerador e o denominador por algum valor é uma forma que normalmente dá certo. :y:

Caso ainda não tenha dado uma :idea:, avisa que eu resolvo.

Bom estudo!


Assunto: cálculo de limites
Autor: Guill - Dom Abr 08, 2012 16:03

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{x^3+1}{x^2-1}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x+1)(x^2-x+1)}{(x+1)(x-1)}

\lim_{x\rightarrow-1}\frac{(x^2-x+1)}{(x-1)}=\frac{-3}{2}