Dúvida sobre este limite

por **duduscs** » Dom Set 22, 2013 21:10

Olá pessoal, sou novo no fórum e vim porque necessito de ajuda em uma questão, pois não estou conseguindo resolver.

$\lim_{x\rightarrow 0} x^{3}+\sqrt{x} +( 1/x^{2})$

e também este:

$\lim_{x\rightarrow 1} (x^{4}-1)/(1-x^{2})$

Obrigado.

por **Sobreira** » Seg Set 23, 2013 12:25

Note que no primeiro exemplo você terá uma indeterminação do tipo $\frac{x\neq0}{0}$ , portanto você irá obter como resposta uma função tendendo a $\infty$ .
Você pode verificar se a função tende a + $\infty$ ou - $\infty$ , através dos limites laterais, mas como ${x}^{2}$ , logo por qualquer lado será positivo e a resposta será + $\infty$ .
No segundo exemplo há uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ , portanto você deve utilizar alguma técnica (fatoração por exemplo) para eliminar a indeterminação:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left({x}^{2}-1 \right)\left({x}^{2} +1\right)}{\left(1-{x}^{2} \right)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{-\left(-{x}^{2}+1 \right)\left({x}^{2} +1\right)}{\left(1-{x}^{2} \right)}$

$-\left({x}^{2} +1\right)=-2$

por **duduscs** » Seg Set 23, 2013 13:08

Sobreira escreveu:Note que no primeiro exemplo você terá uma indeterminação do tipo $\frac{x\neq0}{0}$ , portanto você irá obter como resposta uma função tendendo a $\infty$ .
Você pode verificar se a função tende a + $\infty$ ou - $\infty$ , através dos limites laterais, mas como ${x}^{2}$ , logo por qualquer lado será positivo e a resposta será + $\infty$ .
No segundo exemplo há uma indeterminação do tipo $\frac{0}{0}$ , portanto você deve utilizar alguma técnica (fatoração por exemplo) para eliminar a indeterminação:

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{\left({x}^{2}-1 \right)\left({x}^{2} +1\right)}{\left(1-{x}^{2} \right)}$

$\lim_{x\rightarrow1}\frac{-\left(-{x}^{2}+1 \right)\left({x}^{2} +1\right)}{\left(1-{x}^{2} \right)}$

$-\left({x}^{2} +1\right)=-2$

O segundo exemplo eu entendi.

Mas em relação ao primeiro, não haverá limite, correto? Pois se analisar o limite pela direita, ele tenderá ao +infinito, porém, se analisar pela esquerda, ou seja, valores menores que zero, e consequentemente negativos, não haverá limite lateral devido à $\sqrt{x}$ ?

por **Sobreira** » Ter Set 24, 2013 01:47

Então...acabei analisando rápido e nem prestei atenção à raíz, então neste caso, mesmo pela esquerda e sendo negativo eu elevaria ao quadrado e obteria infinito positivo. Mas sua observação é pertinente, o limite não existe pela esquerda devido à raíz.

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