[Função Calcular f(2) e f(3)]

[ricardo de azevedo]

Bom dia,

Gostaria de tirar uma dúvida como calcular f(2) e f(3).

Seja a função f(a + b) = f(a) . f(b), se f(1) = 9, calcule f(2) e f(3)=?

Muito obrigado pela atenção

[e8group]

Este exercício só pede para determinar a imagem de 2 e 3 por f ? Caso seja apenas isto ,vale apena observar que todo número n natural é reescrito como combinação linear do número 1 , pois , n = 1 + ...+ 1 ( n-vezes) . Assim se n pertence ao domínio da função f , segue-se que f(n) = f(1 + (n-1)) = f(1) f(n-1)= f(1)f(1+(n-2)) = [f(1)]^2 f(n-2)= ... = [f(1)]^n= 9^n (aqui utilizamos a definição f(a+b)=f(a)f(b) (**) ) .

Apesar de sabermos determinar a imagem de qualquer número natural por f ,não conseguiríamos determinar f(x) facilmente quando x não for um número natural .Uma forma alternativa é notar que a função exponencial tem a propriedade (**).

[Russman]

De forma simples podemos tomar a=b=1. Assim, de acordo com a propriedade

f(1+1) = f(1).f(1) ==> f(2) = 9.9 = 81

Agora, tomando a=2 e b=1, temos

f(2+1) = f(2).f(1) = 81.9 = 729 .

Note que se você supor f(x) = c. e^(kx), onde f: R->R , c e k constantes reais quaisquer, então

f(a+b) = c.e^(k(a+b)) = c.e^(ka+kb) = c.e^(ka).e^(kb)
f(a).f(b) = c.e^(ka).c.e^(kb) = c^2 .e^(ka).e^(kb)

A igualdade f(a+b) = f(a).f(b) se verifica para c^2 = c. Isto é, c=1 pois a solução c=0 é a trivial. O valor k se relaciona com f(1), pois f(1) = e^k. Logo, f(x) = f(1)^x. Como esperávamos.

Logo, como de esperado, verificamos que a função exponencial tem essa propriedade de levar uma soma a um produto.

Mas, se estivéssemos interessados em deduzir a solução exponencial ao invés de sugeri-la, poderíamos tomar a+b = t, onde t é um valor variável. Assim, b = t-a e daí

f(a+b) = f(a).f(b)
f(t) = f(a).f(t-a)

Fazendo a=1, pois conhecemos f(1), podemos escrever, chamando f(1) = f1, ganhando generalidade

f(t) = f1.f(t-1)

ou , ainda,

f(t) - f1 f(t-1) = 0

Note q esta equação é uma equação de recorrência que relaciona as imagens de t com as suas anteriores ( para t inteiro que isso faz sentido).
Sugerindo a solução f(t) = c m^t, onde c em são reais, chegamos em

c.m^t - f1 c m^t/m = 0

donde

c.m^t ( 1 - f1 c/m) =0

e, portanto, já que c é diferente de 0,

1= f1 c/m ==> c=m/f1

Assim, f(t) = m/f1 . m^t ==> f(t) = (1/f1) m ^(t+1)

De fato, a solução que chegamos é uma exponencial. Reaplicando a propriedade inicial

f(a+b) - f(a).f(b)=0
(1/f1) m^(a+b+1) - (1/f1) m ^(a+1).(1/f1) m ^(b+1)=0
(1/f1)m^a . m^b( m - m^2/f1) = 0

donde m = f1 é a solução não trivial. Logo, a função se resume para f(t) = f1^t como obtivemos anteriormente.

[e8group]

Boa tarde.Há Outra forma também que pensei

Seja f uma função que satisfaz (1) [; f(a)f(b)= f(a+b) ;] para todo [; a,b;] em seu domínio .Além desta propriedade , suponhamos que f seja uma função diferenciável em todos pontos de seu domínio . Temos então que ,


[; f'(x) = \lim_{h\to 0 } {f(x+h) - f(x)}{h}} [/tex] que devido a (1) e por propriedades operatórias de limites segue-se que [; f'(x) = f(x) \lim_{h\to 0 } {f(h) - 1}{h} ;] . Desde que f é diferenciável, obrigatoriamente o limite acima existe .Definindo o número real [; k = \lim_{h\to 0 } {f(h) - 1}{h} ;] , obtemos

[; f'(x) = k f(x) ;] (2) .

Agora vamos mostrar que a função f satisfaz a propriedade (1) então f(x) > 0 para todo x .Se tivéssemos f(p) = 0 para algum número p de seu domínio isto implicaria f(x) = 0 para todo x ,pois , [;f(x) = f((x-p)+p) f(x-p)f(p) ;] .Assim se f não é uma função identicamente nula ,tem-se sempre [; f(x) \neq 0 ;] para todo x . Assim sendo (1) verdadeiro , [; f(x) = f(x/2 + x/2) = [f(x/2)]^2 > 0 ;].

Utilizando este resultado podemos reescrever f(x) como [; e^{ln(f(x))} ;] .Assim , sendo p(x)= ln(f(x)) ,temos que [; p'(x) = \frac{f'(x)}{f(x)} ;] que devido a (2) [; p'(x) = k = (kx +c )' ;] ,donde segue

[; p(x)= ln(f(x)) =kx +c ;] (3) (onde c é uma constante a ser determinada em breve ) e portanto

[; f(x) = e^{kx} e^{c} ;] (4) (pois , por (3) f(x)= exp(ln(f(x)) = exp(kx+c) = exp(kx) exp(c) ) .

Agora caso conhecemos a imagem do número m por f ,designando q = f(m) , temos :

q = e^{km+c} . Daí , [; \frac{ln(q) - c}{m} = k ;] . Para determinarmos o número c vamos utilizar (1) ,

[; f(a+b) = e^{k(a+b)+c} = e^{ka+kb+c} = e^{ka}e^{kb}e^{c} = e^{ka+c} e^{kb+c}= (e^{ka}e^{kb}e^{c})e^{c}= f(a+b)e^{c} ; ] assim é fácil ver que c = 0 e finalmente obtemos

[; f(x) = e^{ln(q)/m x} = e^{ln(q^x)}^{1/m} = q^{x/m};] .