Soma dos algarismos

por **thadeu** » Qua Nov 18, 2009 16:19

Qual a soma dos algarismos do resultado da seguinte subtração (1111...111) - (999...9), onde o número 1 aparece 2006 e o número 9 aparece 1003 vezes?

a) 2004
b) 2005
c) 2006
d) 2007

por **Elcioschin** » Qua Nov 18, 2009 18:59

Veja a lei de formaçã, sendo n a quantidade de algarismos 1 e n-3 a quantidade de algarismos 9:

n=4 ..........n=5 ........ n=6 ................. n = 2006

1111- ......11111......111111...............11111.....1 ----> (2006 algarismos 1)
....9 ...........99 ..........999.....................99999 ----> (2003 algarismos 9)
____ ......._____......______
1102 .......11012......110112 ..............110...1112

S = 4 ....... S = 5 ...... S = 6 ................ S = 2006 ---> Alternativa C

por **thadeu** » Qua Nov 18, 2009 19:07

Não entendi sua resolução...

por **Elcioschin** » Qua Nov 18, 2009 19:15

Note que 2006 - 2003 = 3

Assim, uma regra que valha para o par 2006-2003 vale para qualquer para qualquer par n-(n-3)

O primeiro par é n = 4 (4 algarismos 1) e (n-3) = 1 (1 algarismo 9)
O segundo par é n = 5 (5 algarismos 1) e (n-3) = 2 (2 algarismos 9)

E assim por diante até n = 2006 e (n-3) = 2003

Feita a subtração de cada par basta somar os algarismos da subtração para se obter a soma final solicitada

Estas somas são 4, 5, 6 ...... 2006

por **thadeu** » Qua Nov 18, 2009 20:01

Nessa lista de exercícios que me foi passada, eu pensei em uma outra forma de resolução:

$\underbrace{1111...111}_{2006 \,\,\,vezes}=\underbrace{1111...111}_{1002\,\,\,vezes}...\underbrace{0000}_{1004\,\,\,vezes}+\underbrace{1111...111}_{1004\,\,\,vezes}$

$\underbrace{1111...111}_{1002\,\,\,vezes}...\underbrace{0000}_{1004\,\,\,vezes}+\underbrace{1111...111}_{1004\,\,\,vezes}-\underbrace{9999...999}_{1003\,\,\,vezes}$

$=\underbrace{1111...111}_{1002\,\,vezes}...\underbrace{0000}_{1004\,\,\,vezes}+\underbrace{1111...11}_{1002\,\,\,vezes}2$

$=\underbrace{11111...111}_{2004\,\,\,vezes}2$

A soma é 2004(1)+2=2006