Álgebra - Questão Difícil

por **Cleyson007** » Sex Ago 23, 2013 00:29

Boa noite!

Considere o grupo aditivo $\mathbb{Z}_{18}$ e $H=\left \langle \overline{6} \right \rangle$ e $K=\left \langle \overline{16} \right \rangle$ . Mostre que $H\cap\.K$ é um subgrupo cíclico de $\mathbb{Z}_{18}$ gerado por $\overline{12}$ .

Se alguém souber, agradeço.

por **Renato_RJ** » Sex Ago 23, 2013 01:47

Sabe dizer se H e K são subgrupos de $\mathbb{Z}_{18}$ ???

por **Renato_RJ** » Sex Ago 23, 2013 14:27

Cleyson007 escreveu:Boa noite!

Considere o grupo aditivo $\mathbb{Z}_{18}$ e $H=\left \langle \overline{6} \right \rangle$ e $K=\left \langle \overline{16} \right \rangle$ . Mostre que $H\cap\.K$ é um subgrupo cíclico de $\mathbb{Z}_{18}$ gerado por $\overline{12}$ .

Se alguém souber, agradeço.

Se H e K forem subgrupos, então $H \cap K$ é um subgrupo (se precisar, é fácil demonstrar). O subgrupo H é formado por $H = \left \langle \overline{6} \right \rangle = \{ \overline{0} , \overline{6} , \overline{12} \}$ e o subgrupo K é formado por $K = \left \langle \overline{16} \right \rangle = \{ \overline{0},\overline{2}, \overline{4}, \overline{6}, \overline{8}, \overline{10}, \overline{12}, \overline{14}, \overline{16} \}$ portanto a interseção $H \cap K = \{ \overline{0}, \overline{6}, \overline{12} \}$ o que é um subgrupo (como afirmei anteriormente) cíclico (veja que, aplicando sucessivamente a operação do grupo a classe 12 as classes do subgrupo $H \cap K$ se repetirão) gerado por $\left \langle \overline{12} \right \rangle$ .

por **Cleyson007** » Sex Ago 23, 2013 16:28

Renato, se não for incomodo demonstre por favor que H ? K é um subgrupo.

por **Renato_RJ** » Sex Ago 23, 2013 22:34

Cleyson007 escreveu:Renato, se não for incomodo demonstre por favor que H ? K é um subgrupo.

Supondo H e K sejam subgrupo de $\mathbb{Z}_{18}$ com a operação de soma, então:

1 - $\overline{0} \in H$ e $\overline{0} \in K$ por definição, logo $\overline{0} \in H \cap K$

2 - Sejam $g_1 \, , \, g_2 \in H \cap K$ . Como H é subgrupo de $\mathbb{Z}_{18}$ e $g_1,g_2 \in H$ então $g_1 + g_2 \in H$ . Analogamente para K, então $g_1 + g_2 \in H \cap K$ .

3 - Seja $g \in H \cap K$ , como H é subgrupo então existe $g^{-1} \in H$ . Analogamente para K, então $\exists \, g^{-1} \in H \cap K$

Logo $H \cap K$ é subgrupo de $\mathbb{Z}_{18}$ .

Qualquer coisa, posta aí..

Abraços.