[Integral de Linha] Segmento de reta

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[Integral de Linha] Segmento de reta

Mensagempor Claudin » Qui Jul 25, 2013 23:41

Olá, to com uma duvida em como resolver integral de linha

Calcule a seguinte integral

\int_{c}^{} ydx+zdy+xdz

onde C consiste n segmento de reta C_1 que une (2,0,0) a (3,4,5) seguido pelo segmento de reta vertical C_2 de (3,4,5) a (3,4,0).

Não estou conseguindo parametrizar utilizando aquela fórmula de segmento de reta, acho que esse é o problema.

Obrigado
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Re: [Integral de Linha] Segmento de reta

Mensagempor MateusL » Sex Jul 26, 2013 15:52

Vamos supor que queres um segmento de reta C que une dois pontos pontos A e B.

A reta que contém esse segmento pode ser representada como:

r:\ X=A+t\cdot(B-A)

O segmento procurado é o conjunto de pontos pertencentes a r, com o parâmetro variando no intervalo [0,1].
Ou seja:

C=\{r(t),\ t\in [0,1]\}

Só tens que notar que nessa integral que queres calcular, terás que dividí-la em duas: uma integral para C_1 e outra para C_2.
Abraço!
MateusL
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Assunto: Taxa de variação
Autor: felipe_ad - Ter Jun 29, 2010 19:44

Como resolvo uma questao desse tipo:

Uma usina de britagem produz pó de pedra, que ao ser depositado no solo, forma uma pilha cônica onde a altura é aproximadamente igual a 4/3 do raio da base.
(a) Determinar a razão de variação do volume em relação ao raio da base.
(b) Se o raio da base varia a uma taxa de 20 cm/s, qual a razão de variação do volume quando o raio mede 2 m?

A letra (a) consegui resolver e cheguei no resultado correto de \frac{4\pi{r}^{2}}{3}
Porem, nao consegui chegar a um resultado correto na letra (b). A resposta certa é 1,066\pi

Alguem me ajuda? Agradeço desde já.

Assunto: Taxa de variação
Autor: Elcioschin - Qua Jun 30, 2010 20:47

V = (1/3)*pi*r²*h ----> h = 4r/3

V = (1/3)*pi*r²*(4r/3) ----> V = (4*pi/9)*r³

Derivando:

dV/dr = (4*pi/9)*(3r²) -----> dV/dr = 4pi*r²/3

Para dr = 20 cm/s = 0,2 m/s e R = 2 m ----> dV/0,2 = (4*pi*2²)/3 ----> dV = (3,2/3)*pi ----> dV ~= 1,066*pi m³/s

Assunto: Taxa de variação
Autor: Guill - Ter Fev 21, 2012 21:17

Temos que o volume é dado por:

V = \frac{4\pi}{3}r^2


Temos, portanto, o volume em função do raio. Podemos diferenciar implicitamente ambos os lados da equação em função do tempo, para encontrar as derivadas em função do tempo:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.r}{3}.\frac{dr}{dt}


Sabendo que a taxa de variação do raio é 0,2 m/s e que queremos ataxa de variação do volume quando o raio for 2 m:

\frac{dV}{dt} = \frac{8\pi.2}{3}.\frac{2}{10}

\frac{dV}{dt} = \frac{16\pi}{15}

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